Se rho(x, y) = x^2 + y^2 é a densidade de um fio que possui o formato de uma curva C parametrizada por r(t) = (3 + t, 1 + t^2), t em [1, 3], calcule a massa do fio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio com uma densidade que varia conforme a posição, dada por . O fio está formado por uma curva C que é descrita por uma função paramétrica , onde t varia de 1 a 3. Nosso objetivo aqui é calcular a massa desse fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a massa de um fio ao longo de uma curva parametrizada, usamos a fórmula da integral de linha:
Aqui, é a densidade avaliada na posição r(t), e é o módulo do vetor derivada da parametrização, que representa o elemento de comprimento do fio.

Passo 3

Vamos calcular . Substituímos x e y da função de densidade pelas componentes de r(t):
Vamos expandir isso:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de r(t) em relação a t:

Passo 5

Em seguida, calculamos o módulo de :

Passo 6

Agora, temos tudo para montar a integral da massa:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então geralmente resolveríamos numericamente ou usando uma aproximação, mas para fins deste exercício, vamos apenas deixar a expressão montada.

Resposta

A massa do fio é dada pela integral:

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