Se
é a densidade de um fio que possui o formato de uma curva
parametrizada por
, calcule a massa do fio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio com uma densidade que varia conforme a posição, dada por
. O fio está formado por uma curva
que é descrita por uma função paramétrica
, onde
varia de 1 a 3. Nosso objetivo aqui é calcular a massa desse fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a massa de um fio ao longo de uma curva parametrizada, usamos a fórmula da integral de linha:
Aqui,
é a densidade avaliada na posição
, e
é o módulo do vetor derivada da parametrização, que representa o elemento de comprimento do fio.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituímos
e
da função de densidade pelas componentes de
:
Vamos expandir isso:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o módulo de
:
Passo 6
Agora, temos tudo para montar a integral da massa:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então geralmente resolveríamos numericamente ou usando uma aproximação, mas para fins deste exercício, vamos apenas deixar a expressão montada.
Resposta
A massa do fio é dada pela integral: