Calcule integralC(x-1+y) d s, onde C é uma curva com parametrização r(t)=(2 t+ 1, t^2), t in[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha integralC(x - 1 + y) , ds, onde C é uma curva parametrizada por r(t) = (2t + 1, t^2) com t variando de 0 a 2. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha no estudo de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da curva, calcular a derivada dela, encontrar o elemento ds e substituir tudo na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ds. Em integrais de linha, ds representa um pequeno segmento de comprimento ao longo da curva. Para encontrar ds, usamos a fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Ou seja, precisamos derivar as funções x(t) e y(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar x(t) e y(t). A parametrização dada é:
x(t) = 2t + 1 y(t) = t^2
Derivando em relação a t:
dxdt = 2 dydt = 2t

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na fórmula de ds:
ds = raiz(2)^2 + (2t)^2 , dt = raiz4 + 4t^2 , dt = raiz4(1 + t^2) , dt = 2raiz1 + t^2 , dt

Passo 5

Em seguida, substituímos x(t), y(t) e ds na integral original:
integralC(x - 1 + y) , ds = integral0^2 [(2t + 1) - 1 + t^2] cdot 2raiz1 + t^2 , dt
Simplificando a expressão dentro do colchete:
(2t + 1) - 1 + t^2 = 2t + t^2
Então, a integral fica:
2 integral0^2 (t^2 + 2t) raiz1 + t^2 , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = 1 + t^2 dudt = 2t dt = du2t
No entanto, observando a presença de t^2 + 2t, podemos separar a integral em duas partes:
2 integral0^2 t^2 raiz1 + t^2 , dt + 2 integral0^2 2t raiz1 + t^2 , dt

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, para a integral integral t^2 raiz1 + t^2 , dt, fazemos:
u = 1 + t^2 du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2
Mas precisamos ajustar para t^2 raizu:
t^2 = u - 1 Rightarrow integral (u - 1) raizu cdot du2 = 12 integral (u^3/2 - u^1/2) , du
Integrando:
12 ( 25u^5/2 - 23u^3/2 ) + C = 15u^5/2 - 13u^3/2 + C
Voltando para t:
15(1 + t^2)^5/2 - 13(1 + t^2)^3/2 + C
Segundo, para a integral integral 2t raiz1 + t^2 , dt, fazemos:
u = 1 + t^2 du = 2t , dt Rightarrow integral raizu , du = 23u^3/2 + C = 23(1 + t^2)^3/2 + C

Passo 8

Agora, juntando as duas partes e aplicando os limites de integração de 0 a 2:
2 [ ( 15(1 + t^2)^5/2 - 13(1 + t^2)^3/2 ) g|0^2 + ( 23(1 + t^2)^3/2 ) g|0^2 ]
Simplificando:
2 [ 15(1 + 4)^5/2 - 13(1 + 4)^3/2 - (15(1)^5/2 - 13(1)^3/2) + 23(1 + 4)^3/2 - 23(1)^3/2 ]
Calculando:
1 + 4 = 5 5^5/2 = 5^2 cdot 5^1/2 = 25raiz5 5^3/2 = 5raiz5 1^5/2 = 1 1^3/2 = 1
Substituindo:
2 [ 25raiz55 - 5raiz53 - (15 - 13) + 2 cdot 5raiz53 - 23 ]
Simplificando os termos:
2 [ 5raiz5 - 5raiz53 - (-215) + 10raiz53 - 23 ] = 2 [ (5raiz5 - 5raiz53 + 10raiz53) + (215 - 23) ] = 2 [ (5raiz5 + 5raiz53) - 815 ] = 2 [ 15raiz5 + 5raiz53 - 815 ] = 2 [ 20raiz53 - 815 ] = 40raiz53 - 1615

Resposta

A integral integralC(x - 1 + y) , ds vale 40raiz53 - 1615.

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