Calcule , onde é uma curva com parametrização .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva parametrizada por com variando de a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha no estudo de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da curva, calcular a derivada dela, encontrar o elemento e substituir tudo na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Em integrais de linha, representa um pequeno segmento de comprimento ao longo da curva. Para encontrar , usamos a fórmula:
Ou seja, precisamos derivar as funções e em relação a .

Passo 3

Vamos derivar e . A parametrização dada é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na fórmula de :

Passo 5

Em seguida, substituímos , e na integral original:
Simplificando a expressão dentro do colchete:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
No entanto, observando a presença de , podemos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, para a integral , fazemos:
Mas precisamos ajustar para :
Integrando:
Voltando para :
Segundo, para a integral , fazemos:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes e aplicando os limites de integração de a :
Simplificando:
Calculando:
Substituindo:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral vale .

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