[3, Ex. 4, p.18] Determine e esboce o domínio das funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função . Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e domínio das funções. Para resolver, vamos precisar lembrar que o domínio de uma função são todos os pares onde a função está definida, ou seja, onde o denominador não é zero e não há outras restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o denominador da função, que é . Para que a função esteja definida, o denominador não pode ser igual a zero. Então, temos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação. A soma de quadrados é igual a zero somente quando ambos e são zero. Portanto, a única situação que torna o denominador zero é quando e .

Passo 4

Logo, o domínio da função é todo o plano menos o ponto onde e . Em outras palavras, qualquer par é válido, exceto a origem.

Passo 5

Para esboçar o domínio, imaginamos o plano cartesiano com todos os pontos preenchidos, exceto o ponto , que seria um ponto de exclusão no gráfico.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais e com exceção do ponto . Em notação matemática:
O esboço do domínio é todo o plano cartesiano menos a origem.

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(a) .