Calcular

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e fazer uma substituição que simplifique a expressão no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. Temos indo de 0 a 1 e indo de 0 a . Isso define uma região triangular no plano . Para facilitar, vamos mudar a ordem das integrais, integrando primeiro em e depois em . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar o expoente . Vamos definir . Derivando ambos os lados em relação a , temos (já que é tratado como constante na integração em relação a ). Quando , , e quando , . Assim, os novos limites de integração para são de a .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo. A região de integração está de a para cada de 0 a 1. Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna . Fazendo a substituição , então e . Os limites para vão de 0 a 1. A integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral principal:
Calculando a integral :

Passo 8

Multiplicando tudo, temos:

Resposta

O valor da integral é .

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Determine o Jacobiano das mudanças de váriáveis: .
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[3, Ex. 4, p.18] Determine e esboce o domínio das funções: