Calcular integral0^1 integral0^1-x e^yx+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e fazer uma substituição que simplifique a expressão no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. Temos integral0^1 integral0^1-x e^yx+y , dy , dx indo de 0 a 1 e indo de 0 a . Isso define uma região triangular no plano . Para facilitar, vamos mudar a ordem das integrais, integrando primeiro em e depois em . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar o expoente . Vamos definir . Derivando ambos os lados em relação a , temos (já que é tratado como constante na integração em relação a ). Quando , , e quando , . Assim, os novos limites de integração para são de a .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral0^1 integralx^1 e^u - xu , du , dx
Simplificando o expoente:
u - xu = 1 - xu
Então, a integral fica:
integral0^1 integralx^1 e^1 - xu , du , dx = integral0^1 e integralx^1 e^-xu , du , dx

Passo 5

Agora, vamos trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo. A região de integração está de e integral0^1 integral0^u e^-xu , dx , du a para cada de 0 a 1. Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna u integral0^1 e^-t , dt = u [-e^-t]0^1 = u (1 - e^-1) . Fazendo a substituição , então e . Os limites para vão de 0 a 1. A integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral principal:
e integral0^1 u (1 - e^-1) , du = e (1 - e^-1) integral0^1 u , du
Calculando a integral u^22 |0^1 = 12 :

Passo 8

Multiplicando tudo, temos:
e (1 - 1e) cdot 12 = e cdot e - 1e cdot 12 = e - 12

Resposta

O valor da integral é .

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