Calcular o volume do sólido limitado por
, os planos coordenadados e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume de um sólido que está delimitado pela superfície
, pelos planos coordenados (ou seja, os planos
,
e
) e pelo plano
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integração tripla, para encontrar esse volume. Vamos precisar usar integrais para somar infinitesimais de volume dentro desses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A superfície
é um paraboloide que se abre para cima. Os planos coordenados vão limitar nossa região no primeiro octante (onde
,
e
são positivos). O plano
é uma reta no plano
que vai cortar o eixo
em
e o eixo
em
.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla. Vamos integrar em ordem
,
e
. Primeiro, determinamos os limites de integração para cada variável:
- Para
: O valor mínimo é (plano ) e o máximo é . - Para
: Dado um valor de , vai de 0 até (do plano ). - Para
: varia de 0 a 1.
Então, a integral tripla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a
:
Agora, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral dupla se torna:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em relação a
:
Primeiro, separamos as integrais:
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
[3, Ex. 4, p.18] Determine e esboce o domínio das funções:
Calcular
, se
é a região do plano
limitada pelas retas
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) .
(a)
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.