Calcular o volume do sólido limitado por , os planos coordenadados e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume de um sólido que está delimitado pela superfície , pelos planos coordenados (ou seja, os planos , e ) e pelo plano . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integração tripla, para encontrar esse volume. Vamos precisar usar integrais para somar infinitesimais de volume dentro desses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A superfície é um paraboloide que se abre para cima. Os planos coordenados vão limitar nossa região no primeiro octante (onde , e são positivos). O plano é uma reta no plano que vai cortar o eixo em e o eixo em .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla. Vamos integrar em ordem , e . Primeiro, determinamos os limites de integração para cada variável:
  • Para : O valor mínimo é (plano ) e o máximo é .
  • Para : Dado um valor de , vai de 0 até (do plano ).
  • Para : varia de 0 a 1.
Então, a integral tripla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :
Agora, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral dupla se torna:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em relação a :
Primeiro, separamos as integrais:
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

[3, Ex. 4, p.18] Determine e esboce o domínio das funções:
Calcular , se é a região do plano limitada pelas retas
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) .
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .