Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Esse exercício é de Funções Exponenciais, então vamos usar alguns conceitos básicos dessa matéria para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x que a função pode aceitar. Na função , o 7 está sendo elevado a uma potência que pode ser qualquer número real. Funções exponenciais como essa não têm restrições no valor de , ou seja, você pode colocar qualquer número real no lugar de .

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que qualquer número positivo elevado a uma potência real sempre resulta em um número maior que zero. Então, nunca será zero ou negativo.

Passo 4

Por último, vamos esboçar o gráfico da função . Funções exponenciais têm algumas características importantes:
  • Quando , (porque qualquer número elevado a zero é 1).
  • Conforme aumenta, cresce muito rápido.
  • Conforme diminui, se aproxima de zero, mas nunca toca o eixo x.
Então, o gráfico vai passar pelo ponto (0,1), subir rapidamente para a direita e se aproximar do eixo x pela esquerda sem jamais tocá-lo.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os números reais positivos, .
  • Gráfico: Uma curva exponencial que passa por (0,1), cresce rapidamente para a direita e se aproxima do eixo x pela esquerda sem tocar.

Exercícios relacionados

Calcular o volume do sólido limitado por , os planos coordenadados e o plano .
[3, Ex. 4, p.18] Determine e esboce o domínio das funções:
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .
Calcule: , onde .