a) f(x) = x^3 + 1 ; [2, 3]
b) R(theta) = raiz(4*theta + 1) ; [0, 2]

Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas funções que você me mandou. A primeira é no intervalo de [2, 3] e a segunda é no intervalo de [0, 2]. Vamos precisar usar cálculo integral para encontrar a área sob as curvas dessas funções nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de uma função em um intervalo. A integral definida de uma função entre dois pontos nos dá a área sob a curva dessa função nesse intervalo. Para isso, usamos a seguinte fórmula:

Passo 3

Vamos começar com a primeira função no intervalo de [2, 3]. Precisamos calcular:

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de . A antiderivada de é e a antiderivada de 1 é . Então, a antiderivada de é:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular . Então:

Passo 6

Subtraindo de :

Passo 7

Agora, vamos para a segunda função no intervalo de [0, 2]. Precisamos calcular:

Passo 8

Para integrar , vamos fazer uma substituição. Vamos deixar , então ou .

Passo 9

Substituindo na integral:

Passo 10

Voltando para :
Agora, avaliamos de 0 a 2:

Resposta

a) A integral de no intervalo [2, 3] é 17,25.
b) A integral de no intervalo [0, 2] é ou aproximadamente 4,333.

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