Lencontre a derivada da função inversa no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada da função inversa no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a derivada da função inversa pode ser encontrada usando a fórmula:
Ou seja, a derivada da inversa é o inverso da derivada da função original avaliada no ponto correspondente.

Passo 3

Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada da função original . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de que faz . Ou seja, resolver a equação:
Vamos tentar encontrar uma aproximação para . Testando :
Então, .

Passo 5

Com , vamos calcular :

Resposta

Portanto, a derivada da função inversa no ponto é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Encontre , onde:
Encontre y
Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.