Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar transformações para esboçar o gráfico da função e, além disso, encontrar o domínio e a imagem dessa função. Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções quadráticas e como elas se comportam quando aplicamos transformações nelas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função básica que é . Essa é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto (0, 0). O domínio dessa função são todos os números reais, ou seja, , e a imagem são todos os números reais maiores ou iguais a zero, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que nos foi dada: . Aqui, percebemos que temos uma modificação na função básica . O termo dentro do quadrado indica uma transformação horizontal.

Passo 4

Especificamente, a expressão significa que a parábola básica foi transladada para a direita em 3 unidades. Ou seja, o vértice da parábola agora está no ponto (3, 0) ao invés de (0, 0).

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Começamos desenhando a parábola básica .
  2. Aplicamos a translação horizontal para a direita de 3 unidades, movendo o vértice para (3, 0).
  3. O novo gráfico será simétrico em relação à linha vertical que passa por .

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função :
  • Domínio: Como não há nenhuma restrição para os valores de nessa função (podemos elevar qualquer número real ao quadrado), o domínio é , ou seja, todos os números reais.
  • Imagem: Como qualquer número real ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, a imagem da função é .

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com vértice em (3, 0), transladada 3 unidades para a direita em relação à parábola básica . O domínio da função é todos os números reais ( ) e a imagem é .

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