Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar transformações para esboçar o gráfico da função
e, além disso, encontrar o domínio e a imagem dessa função. Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções quadráticas e como elas se comportam quando aplicamos transformações nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função básica que é
. Essa é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto (0, 0). O domínio dessa função são todos os números reais, ou seja,
, e a imagem são todos os números reais maiores ou iguais a zero,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que nos foi dada:
. Aqui, percebemos que temos uma modificação na função básica
. O termo
dentro do quadrado indica uma transformação horizontal.
Passo 4
Especificamente, a expressão
significa que a parábola básica
foi transladada para a direita em 3 unidades. Ou seja, o vértice da parábola agora está no ponto (3, 0) ao invés de (0, 0).
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico:
- Começamos desenhando a parábola básica
. - Aplicamos a translação horizontal para a direita de 3 unidades, movendo o vértice para (3, 0).
- O novo gráfico será simétrico em relação à linha vertical que passa por
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função
:
-
Domínio: Como não há nenhuma restrição para os valores de
nessa função (podemos elevar qualquer número real ao quadrado), o domínio é , ou seja, todos os números reais. -
Imagem: Como qualquer número real ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, a imagem da função é
.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com vértice em (3, 0), transladada 3 unidades para a direita em relação à parábola básica
. O domínio da função é todos os números reais (
) e a imagem é
.
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