Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função usando transformações. Além disso, vamos descobrir o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender como as transformações afetam o gráfico de funções básicas, além de saber definir domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na função básica . Essa função é um cubo, e o gráfico dela tem uma forma característica que atravessa o ponto de origem (0,0). Agora, para chegar na nossa função , precisamos usar uma transformação de translação vertical.

Passo 3

A transformação que acontece aqui é uma translação para baixo de 1 unidade. Isso significa que todo o gráfico de vai ser movido 1 unidade para baixo no eixo y. Então, o ponto de origem (0,0) vai para (0,-1). Essa mudança afeta todos os pontos do gráfico igualmente.

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  1. Começamos com o gráfico de , que passa pela origem e tem uma forma em “S” simétrica em relação à origem.
  2. Aplicamos a translação para baixo de 1 unidade, deslocando todo o gráfico para baixo. Assim, o novo gráfico passa pelo ponto (0,-1).
O gráfico resultante de terá a mesma forma em “S”, mas estará 1 unidade mais baixo que o gráfico de .

Passo 5

Vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso de , podemos colocar qualquer número real no lugar de x, porque não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Então, o domínio é:
í

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como a função cúbica pode produzir qualquer número real e ao subtrairmos 1, ela ainda pode cobrir todos os números reais (apenas deslocados), a imagem também é:

Resposta

O gráfico de é a função cúbica transladada 1 unidade para baixo. O domínio da função é todos os números reais ( ) e a imagem também é todos os números reais ( ).

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Lencontre a derivada da função inversa no ponto .
Encontre , onde:
Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.