Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função
usando transformações. Além disso, vamos descobrir o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender como as transformações afetam o gráfico de funções básicas, além de saber definir domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na função básica
. Essa função é um cubo, e o gráfico dela tem uma forma característica que atravessa o ponto de origem (0,0). Agora, para chegar na nossa função
, precisamos usar uma transformação de translação vertical.
Passo 3
A transformação que acontece aqui é uma translação para baixo de 1 unidade. Isso significa que todo o gráfico de
vai ser movido 1 unidade para baixo no eixo y. Então, o ponto de origem (0,0) vai para (0,-1). Essa mudança afeta todos os pontos do gráfico igualmente.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico:
- Começamos com o gráfico de
, que passa pela origem e tem uma forma em “S” simétrica em relação à origem. - Aplicamos a translação para baixo de 1 unidade, deslocando todo o gráfico para baixo. Assim, o novo gráfico passa pelo ponto (0,-1).
O gráfico resultante de
terá a mesma forma em “S”, mas estará 1 unidade mais baixo que o gráfico de
.
Passo 5
Vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso de
, podemos colocar qualquer número real no lugar de x, porque não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Então, o domínio é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como a função cúbica
pode produzir qualquer número real e ao subtrairmos 1, ela ainda pode cobrir todos os números reais (apenas deslocados), a imagem também é:
Resposta
O gráfico de
é a função cúbica
transladada 1 unidade para baixo. O domínio da função é todos os números reais (
) e a imagem também é todos os números reais (
).
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Lencontre a derivada da função inversa
Encontre
, onde:
Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.
Use transformações para esboçar o gráfico da função. Encontre o domínio e imagem de cada uma das funções.