$34 Sew 34 sew, e e, calcule calcule.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar seguir as relações dadas entre as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está relacionada com . Temos que:
E sabemos que:
Então, é uma função composta de várias outras funções de .

Passo 3

Para encontrar , usamos a Regra do Produto porque é o produto de e :
Agora, vamos calcular e separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos . Sabemos que:
Usando a Regra da Cadeia, temos:
E como , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Para derivar isso em relação a , usamos a Regra do Quociente:
Mas precisamos de . Sabemos que:
Então:
Substituindo de volta:
Simplificando a expressão:
Isso pode ser simplificado ainda mais, mas para manter a clareza, deixamos assim.

Passo 6

Agora, juntamos tudo na expressão de :
Substituindo , , e :
Essa é a derivada completa de em relação a .

Resposta

A derivada é dada por:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função) z(w) = (w + tg(w)) / (1 + csc(w))
Calcule f^(3)(5), se f(x) = raiz(x - 1) * g(x), g(5) = -1, g'(5) = 1/3, g''(5) = 2 e g^(3)(5) = 10.
Se f(2) = -8, f'(2) = 3, g(2) = 17 e g'(2) = -4 determine o valor de (f g)'(2).
33 Se u = v w, v = raiz(t), t = x^2 + 2, w = s^5, e s=x+1, calcule du/dx.