Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos encontrar a derivada da função
. Isso envolve cálculo de derivadas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar da regra do quociente, das derivadas das funções trigonométricas como a tangente (
) e a cosecante (
), além de simplificar a função se der.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
se possível. Observando o denominador
, sabemos que
. Então, podemos reescrever o denominador:
Agora, substituindo de volta na função
:
Isso já nos deixa com uma forma um pouco mais simples para trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de
. A regra do quociente diz que se temos uma função
, a derivada é:
No nosso caso,
e
. Vamos precisar derivar
e
separadamente.
Passo 4
Vamos derivar
:
Aqui, usamos o fato de que a derivada de
é
.
Agora, vamos derivar
:
Lembrando que a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente com as derivadas encontradas:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 6
Finalmente, podemos deixar a derivada nessa forma simplificada ou, se preferir, fatorar mais algum termo comum. Porém, essa é uma forma aceitável para a derivada da função dada.
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule
, se
e
.
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
$34 Sew
, e
, calcule
.
Se
e
determine o valor de
.