Calcule
, se
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a terceira derivada de
no ponto
. Isso envolve cálculo de derivadas de funções compostas e produto. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então:
Passo 3
Precisamos encontrar a terceira derivada de
. Vamos chamar
e
. Assim,
. Vamos usar a regra do produto para derivar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Agora, sabemos que
e temos as seguintes informações:
Passo 6
Vamos aplicar a regra do produto para encontrar
. A regra do produto para derivadas de ordem três é um pouco extensa, mas vamos detalhar:
Passo 7
Substituindo
e as derivadas que já calculamos:
Passo 8
Agora, vamos substituir tudo na expressão de
:
Passo 9
Vamos calcular cada termo separadamente:
Passo 10
Agora, somamos todos os termos:
Primeiro, vamos igualar os denominadores para facilitar a soma:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
Mostre que o campo
é conservativo e encontre um potencial para
.
Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
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, e
, calcule
.