(35 pts) Considere o sistema linear A X=B definido pelo sistema abaixo:
cc z+2 u & =0 x+y+u & =1 x+y+2 z+5 u+v & =2 x+y+4 z+9 u+3 v & =4 x+y+3 z+7 u+2 v & =3 2 x+2 u+6 z+14 u+4 v & =6
a partir da forma escalonada reduzida, determine as soluçoses do sistema hormogèneo A X=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares . O objetivo aqui é encontrar todas as soluções do sistema homogêneo a partir da forma escalonada reduzida da matriz . Para isso, vamos precisar usar técnicas de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e identificar as variáveis livres e principais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & | & 2 1 & 1 & 4 & 9 & 3 & | & 4 1 & 1 & 3 & 7 & 2 & | & 3 2 & 0 & 6 & 14 & 4 & | & 6 :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz à forma escalonada reduzida. O objetivo é ter 1’s na diagonal principal e zeros abaixo e acima desses 1’s.
  1. Primeira Coluna:
    • A segunda linha já começa com 1, então podemos usá-la como nossa primeira linha pivot.
    • Subtraímos a segunda linha das demais para zerar os elementos abaixo do pivô.
  2. Segunda Coluna:
    • Após as operações, identificamos que todas as colunas seguintes já estão ajustadas ou não têm pivôs adicionais.
  3. Terceira Coluna:
    • Identificamos que 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 é uma variável livre, então expressamos as outras variáveis em termos de .
Após simplificações, a forma escalonada reduzida fica assim:

Passo 4

Com a matriz escalonada reduzida, podemos escrever as equações correspondentes:
Queremos as soluções do sistema homogêneo , então substituímos o lado direito por zero:
Agora, expressamos as variáveis em termos de e (as variáveis livres):
  • Da segunda equação:
  • Da primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema homogêneo x = -y - u y é livre z = -2u u é livre v = 0 são dadas por:
X = y -1 1 0 0 0 + u -1 0 -2 1 0 éé
Ou de forma paramétrica:

Exercícios relacionados