Dê a matriz de mudança da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3) nos casos
(b)
l f1=e1-e3 f2=3 e1 f3=4 e1-3 e2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas bases no espaço tridimensional: a base e a base . A missão é descobrir a matriz de mudança de base que transforma coordenadas da base para a base . Para isso, vamos precisar entender como os vetores da base são expressos em termos da base .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever cada vetor da base f1 = e1 - e3 f2 = 3e1 f3 = 4e1 - 3e2 como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que cada vetor será expresso como , onde , e são coeficientes que precisamos encontrar.
Os vetores dados são:

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes de cada vetor :
  1. Para :
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficiente de : 0 (não aparece)
    • Coeficiente de : -1
  2. Para :
    • Coeficiente de : 3
    • Coeficiente de : 0
    • Coeficiente de : 0
  3. Para :
    • Coeficiente de : 4
    • Coeficiente de : -3
    • Coeficiente de : 0

Passo 4

Com esses coeficientes, podemos montar a matriz de mudança de base. Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de um vetor da base 1 & 3 & 4 0 & 0 & -3 -1 & 0 & 0 em termos da base .
Assim, a matriz fica assim:
Cada coluna representa, respectivamente, , e em termos de , e .

Resposta

A matriz de mudança da base 1 & 3 & 4 0 & 0 & -3 -1 & 0 & 0 para a base é:

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