(35 pts) Considere o sistema linear A X=B definido pelo sistema abaixo:
cc z+2 u & =0 x+y+u & =1 x+y+2 z+5 u+v & =2 x+y+4 z+9 u+3 v & =4 x+y+3 z+7 u+2 v & =3 2 x+2 u+6 z+14 u+4 v & =6
a partir da forma escalonada reduzida, caso exista, determine uma soluçio particular do sistema A X=B

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por . Nosso objetivo é transformar esse sistema na forma escalonada reduzida e, se possível, encontrar uma solução particular para .
Para resolver isso, vamos precisar aplicar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
z + 2u = 0 (1) x + y + u = 1 (2) x + y + 2z + 5u + v = 2 (3) x + y + 4z + 9u + 3v = 4 (4) x + y + 3z + 7u + 2v = 3 (5) 2x + 16u + 6z + 4v = 6 (6)
Observação: Na equação (6), combinamos os termos semelhantes .

Passo 3

Vamos começar eliminando variáveis para simplificar o sistema. Da equação (1), podemos expressar z = -2u em função de :
Isso nos ajuda a reduzir o número de variáveis nas demais equações.

Passo 4

Substituímos x + y + u = 1 na equação (2):
Essa equação já está simplificada, então vamos mantê-la para agora.

Passo 5

Agora, substituímos x + y + 2(-2u) + 5u + v = 2 na equação (3):
x + y -4u + 5u + v = 2
x + y + u + v = 2 (3')

Passo 6

Fazemos o mesmo para a equação (4):
x + y + 4(-2u) + 9u + 3v = 4
x + y -8u + 9u + 3v = 4
x + y + u + 3v = 4 (4')

Passo 7

E para a equação (5):
x + y + 3(-2u) + 7u + 2v = 3
x + y -6u + 7u + 2v = 3
x + y + u + 2v = 3 (5')

Passo 8

Por último, substituímos 2x + 16u + 6(-2u) + 4v = 6 na equação (6):
2x + 16u -12u + 4v = 6
2x + 4u + 4v = 6
x + 2u + 2v = 3 (6')

Passo 9

Agora, nosso sistema está reduzido para:
x + y + u = 1 (2) x + y + u + v = 2 (3') x + y + u + 3v = 4 (4') x + y + u + 2v = 3 (5') x + 2u + 2v = 3 (6')
Vamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 10

Subtraímos a equação (2) da equação (3’) para eliminar (x + y + u + v) - (x + y + u) = 2 - 1 :
v = 1
Agora sabemos que .

Passo 11

Com x + y + u = 1 (2) , substituímos na equação (2):
x + 2u + 2(1) = 3
E na equação (6’):
x + 2u + 2 = 3
x + 2u = 1 (6'')

Passo 12

Agora, temos duas equações com x + y + u = 1 (2) x + 2u = 1 (6'') e (x + y + u) - (x + 2u) = 1 - 1 :
y - u = 0
Subtraímos a equação (6’’) da equação (2):
y = u

Passo 13

Agora, sabemos que x + u + u = 1 . Vamos usar isso na equação (2):
x + 2u = 1
Isso coincide com a equação (6’’), então não temos novas informações aqui.

Passo 14

Vamos verificar a consistência das equações restantes. Usando x + y + u + 3(1) = 4 na equação (4’):
x + y + u + 3 = 4
x + y + u = 1
Que novamente é a mesma equação que já temos.

Passo 15

Concluímos que o sistema é consistente e possui infinitas soluções, pois temos mais incógnitas do que equações independentes. Vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro livre, por exemplo, y = t .
Então:
x + 2t = 1 implies x = 1 - 2t
z = -2t
v = 1

Resposta

Uma solução particular do sistema é:
x = 1 y = 0 z = 0 u = 0 v = 1

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