Determine o ponto de interseção da reta
r:l x-1=z-42 y=-2
com cada um dos seguintes planos
(a) pi1: x-3 y+4 z-9=0.
(b) pi2: 3 y-2 z=4.
© pi3: z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida pelas equações:
r: l x - 1 = z - 42 y = -2
E precisamos encontrar o ponto onde essa reta cruza cada um dos planos dados:
(a) pi1: x - 3y + 4z - 9 = 0,
(b) pi2: 3y - 2z = 4,
© pi3: z = 1.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a interseção entre retas e planos. Vamos precisar parametrizar a reta para facilitar as substituições nas equações dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta. Observando as equações da reta:
  • y é sempre -2.
  • x - 1 = z - 42.
Vamos chamar z - 42 de um parâmetro t. Assim, temos:
t = z - 42 Rightarrow z = 2t + 4
E substituindo t na equação de x:
x = 1 + t
Então, a parametrização da reta fica:
x = 1 + t y = -2 z = 2t + 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção da reta com cada plano. Vamos começar pelo item (a).

a) Interseção com o plano pi1: x - 3y + 4z - 9 = 0

Vamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano:
(1 + t) - 3(-2) + 4(2t + 4) - 9 = 0
Explicando cada termo:
  • x = 1 + t
  • y = -2
  • z = 2t + 4

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de t:
1 + t + 6 + 8t + 16 - 9 = 0 (1 + 6 + 16 - 9) + (t + 8t) = 0 14 + 9t = 0 9t = -14 t = -149

Passo 5

Com o valor de t, vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
x = 1 + (-149) = 99 - 149 = -59 y = -2 z = 2(-149) + 4 = -289 + 369 = 89

Passo 6

Vamos agora encontrar a interseção da reta com o plano pi2: 3y - 2z = 4.

Passo 7

Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano:
3(-2) - 2(2t + 4) = 4 -6 - 4t - 8 = 4

Passo 8

Resolvendo para t:
-6 - 8 - 4t = 4 -14 - 4t = 4 -4t = 18 t = -184 = -92

Passo 9

Com t = -92, encontramos as coordenadas:
x = 1 + (-92) = 22 - 92 = -72 y = -2 z = 2(-92) + 4 = -9 + 4 = -5

Passo 10

Por fim, vamos descobrir onde a reta intersecta o plano pi3: z = 1.

Passo 11

Substituindo z da reta na equação do plano:
2t + 4 = 1

Passo 12

Resolvendo para t:
2t = 1 - 4 2t = -3 t = -32

Passo 13

Com t = -32, encontramos as coordenadas:
x = 1 + (-32) = 22 - 32 = -12 y = -2 z = 1

Resposta

O ponto de interseção da reta r com o plano pi3 é:
( -12, -2, 1 )

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