Determine o ponto de interseção da reta
com cada um dos seguintes planos
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida pelas equações:
E precisamos encontrar o ponto onde essa reta cruza cada um dos planos dados:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a interseção entre retas e planos. Vamos precisar parametrizar a reta para facilitar as substituições nas equações dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta. Observando as equações da reta:
-
é sempre . -
.
Vamos chamar
de um parâmetro
. Assim, temos:
E substituindo
na equação de
:
Então, a parametrização da reta fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção da reta com cada plano. Vamos começar pelo item (a).
a) Interseção com o plano
Vamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano:
Explicando cada termo:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar o valor de
:
Passo 5
Com o valor de
, vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Passo 6
Vamos agora encontrar a interseção da reta com o plano
.
Passo 7
Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Com
, encontramos as coordenadas:
Passo 10
Por fim, vamos descobrir onde a reta intersecta o plano
.
Passo 11
Substituindo
da reta na equação do plano:
Passo 12
Resolvendo para
:
Passo 13
Com
, encontramos as coordenadas:
Resposta
O ponto de interseção da reta
com o plano
é: