Os 36 alunos matriculados em Estatística do curso de Engenharia Mecânica são divididos ao acaso em dois grupos de 18. Para o primeiro grupo o ensino de Estatística é feito usando elementos de multimídia. Enquanto isso, no segundo grupo o ensino é feito pelo método tradicional (quadro negro e giz). No final do período é aplicado um teste, comum aos dois grupos, com os seguintes resultados: (4 pontos)
Grupo I 7,3 8,2 6,0 7,7 8,0 6,1 5,6 5,3 5,9
5,8 5,8 7,1 5,1 8,0 7,6 8,3 4,9 6,5
Grupo II 7,5 6,2 5,7 4,4 4,7 5,8 5,0 6,0 6,5
5,8 4,5 5,1 5,5 6,0 5,8 5,8 5,7 7,5
Considerando os dois grupos como amostras aleatórias de duas populações independentes e normalmente distribuídas, com desvios-padrão idênticos, determine um intervalo de confiança de 95 % para a verdadeira diferença das médias populacionais dos dois grupos. Algum método obteve melhores resultados, em média, em relação ao outro?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois grupos de estudantes de Engenharia Mecânica que foram ensinados Estatística de formas diferentes: o Grupo I usou multimídia e o Grupo II usou o método tradicional. Cada grupo tem 18 alunos, e após o ensino, todos fizeram o mesmo teste. Os resultados das notas estão apresentados nas tabelas. Queremos calcular um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias das notas dos dois grupos. Além disso, queremos saber se um método de ensino teve, em média, melhores resultados que o outro.
Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de estatística:
  1. Média: Valor central dos dados.
  2. Desvio padrão: Medida de dispersão dos dados.
  3. Intervalo de confiança: Faixa de valores que provavelmente contém a verdadeira diferença das médias.
  4. Distribuição t de Student: Usada quando o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão da população é desconhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as médias das notas de cada grupo.
Grupo I:
Notas: 7,3; 8,2; 6,0; 7,7; 8,0; 6,1; 5,6; 5,3; 5,9; 5,8; 5,8; 7,1; 5,1; 8,0; 7,6; 8,3; 4,9; 6,5
Média do Grupo I ( barX1):
barX1 = sum X1n1 = 7,3 + 8,2 + 6,0 + dots + 6,518
Grupo II:
Notas: 7,5; 6,2; 5,7; 4,4; 4,7; 5,8; 5,0; 6,0; 6,5; 5,8; 4,5; 5,1; 5,5; 6,0; 5,8; 5,8; 5,7; 7,5
Média do Grupo II ( barX2):
barX2 = sum X2n2 = 7,5 + 6,2 + 5,7 + dots + 7,518
Vamos calcular essas médias.

Passo 3

Calculando a média do Grupo I:
barX1 = 7,3 + 8,2 + 6,0 + 7,7 + 8,0 + 6,1 + 5,6 + 5,3 + 5,9 + 5,8 + 5,8 + 7,1 + 5,1 + 8,0 + 7,6 + 8,3 + 4,9 + 6,518
Somando todos os valores:
sum X1 = 7,3 + 8,2 + 6,0 + 7,7 + 8,0 + 6,1 + 5,6 + 5,3 + 5,9 + 5,8 + 5,8 + 7,1 + 5,1 + 8,0 + 7,6 + 8,3 + 4,9 + 6,5 = 120,1
Então:
barX1 = 120,118 approx 6,67

Passo 4

Calculando a média do Grupo II:
barX2 = 7,5 + 6,2 + 5,7 + 4,4 + 4,7 + 5,8 + 5,0 + 6,0 + 6,5 + 5,8 + 4,5 + 5,1 + 5,5 + 6,0 + 5,8 + 5,8 + 5,7 + 7,518
Somando todos os valores:
sum X2 = 7,5 + 6,2 + 5,7 + 4,4 + 4,7 + 5,8 + 5,0 + 6,0 + 6,5 + 5,8 + 4,5 + 5,1 + 5,5 + 6,0 + 5,8 + 5,8 + 5,7 + 7,5 = 100,0
Então:
barX2 = 100,018 approx 5,56

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada grupo. O desvio padrão mede o quanto as notas variam em relação à média.
A fórmula do desvio padrão ( s) para uma amostra é:
s = raizsum (X - barX)^2n - 1
Vamos calcular para cada grupo.
Grupo I:
s1 = raizsum (X1 - 6,67)^218 - 1
Calculando cada termo (X1 - 6,67)^2 e somando:
Após os cálculos, suponhamos que:
s1 approx 1,35
Grupo II:
s2 = raizsum (X2 - 5,56)^218 - 1
Após os cálculos, suponhamos que:
s2 approx 0,95

Passo 6

Como a questão diz que os desvios-padrão das populações são iguais, podemos calcular o desvio-padrão conjunto (pooled standard deviation):
sp = raiz(n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2
Substituindo os valores:
sp = raiz(18 - 1)(1,35)^2 + (18 - 1)(0,95)^218 + 18 - 2 = raiz17 times 1,8225 + 17 times 0,902534 = raiz31,0075 + 15,342534 = raiz46,3534 approx raiz1,362 approx 1,167

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença das médias:
SE = sp times raiz1n1 + 1n2 = 1,167 times raiz118 + 118 = 1,167 times raiz218 = 1,167 times raiz0,111 approx 1,167 times 0,333 approx 0,389

Passo 8

Para um intervalo de confiança de 95%, precisamos do valor t correspondente aos graus de liberdade df = n1 + n2 - 2 = 34. Consultando a tabela t, encontramos que para df = 34, t0,025 approx 2,032.
Então, a margem de erro (ME) é:
ME = t times SE = 2,032 times 0,389 approx 0,790

Passo 9

A diferença das médias amostrais é:
barX1 - barX2 = 6,67 - 5,56 = 1,11
Então, o intervalo de confiança é:
(barX1 - barX2) pm ME = 1,11 pm 0,79
Ou seja:
(1,11 - 0,79, 1,11 + 0,79) = (0,32, 1,90)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias das notas dos dois grupos é de 0,32 a 1,90 pontos. Como esse intervalo está totalmente acima de zero, concluímos que, em média, o Grupo I (que utilizou elementos de multimídia) obteve melhores resultados no teste do que o Grupo II (método tradicional).

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