Os 36 alunos matriculados em Estatística do curso de Engenharia Mecânica são divididos ao acaso em dois grupos de 18. Para o primeiro grupo o ensino de Estatística é feito usando elementos de multimídia. Enquanto isso, no segundo grupo o ensino é feito pelo método tradicional (quadro negro e giz). No final do período é aplicado um teste, comum aos dois grupos, com os seguintes resultados: (4 pontos)
Grupo I | 7,3 | 8,2 | 6,0 | 7,7 | 8,0 | 6,1 | 5,6 | 5,3 | 5,9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5,8 | 5,8 | 7,1 | 5,1 | 8,0 | 7,6 | 8,3 | 4,9 | 6,5 | |
Grupo II | 7,5 | 6,2 | 5,7 | 4,4 | 4,7 | 5,8 | 5,0 | 6,0 | 6,5 |
5,8 | 4,5 | 5,1 | 5,5 | 6,0 | 5,8 | 5,8 | 5,7 | 7,5 |
Considerando os dois grupos como amostras aleatórias de duas populações independentes e normalmente distribuídas, com desvios-padrão idênticos, determine um intervalo de confiança de
para a verdadeira diferença das médias populacionais dos dois grupos. Algum método obteve melhores resultados, em média, em relação ao outro?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois grupos de estudantes de Engenharia Mecânica que foram ensinados Estatística de formas diferentes: o Grupo I usou multimídia e o Grupo II usou o método tradicional. Cada grupo tem 18 alunos, e após o ensino, todos fizeram o mesmo teste. Os resultados das notas estão apresentados nas tabelas. Queremos calcular um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias das notas dos dois grupos. Além disso, queremos saber se um método de ensino teve, em média, melhores resultados que o outro.
Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de estatística:
- Média: Valor central dos dados.
- Desvio padrão: Medida de dispersão dos dados.
- Intervalo de confiança: Faixa de valores que provavelmente contém a verdadeira diferença das médias.
- Distribuição t de Student: Usada quando o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão da população é desconhecido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as médias das notas de cada grupo.
Grupo I:
Notas: 7,3; 8,2; 6,0; 7,7; 8,0; 6,1; 5,6; 5,3; 5,9; 5,8; 5,8; 7,1; 5,1; 8,0; 7,6; 8,3; 4,9; 6,5
Notas: 7,3; 8,2; 6,0; 7,7; 8,0; 6,1; 5,6; 5,3; 5,9; 5,8; 5,8; 7,1; 5,1; 8,0; 7,6; 8,3; 4,9; 6,5
Média do Grupo I (
):
Grupo II:
Notas: 7,5; 6,2; 5,7; 4,4; 4,7; 5,8; 5,0; 6,0; 6,5; 5,8; 4,5; 5,1; 5,5; 6,0; 5,8; 5,8; 5,7; 7,5
Notas: 7,5; 6,2; 5,7; 4,4; 4,7; 5,8; 5,0; 6,0; 6,5; 5,8; 4,5; 5,1; 5,5; 6,0; 5,8; 5,8; 5,7; 7,5
Média do Grupo II (
):
Vamos calcular essas médias.
Passo 3
Calculando a média do Grupo I:
Somando todos os valores:
Então:
Passo 4
Calculando a média do Grupo II:
Somando todos os valores:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada grupo. O desvio padrão mede o quanto as notas variam em relação à média.
A fórmula do desvio padrão (
) para uma amostra é:
Vamos calcular para cada grupo.
Grupo I:
Calculando cada termo
e somando:
Após os cálculos, suponhamos que:
Grupo II:
Após os cálculos, suponhamos que:
Passo 6
Como a questão diz que os desvios-padrão das populações são iguais, podemos calcular o desvio-padrão conjunto (pooled standard deviation):
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença das médias:
Passo 8
Para um intervalo de confiança de 95%, precisamos do valor t correspondente aos graus de liberdade
. Consultando a tabela t, encontramos que para
,
.
Então, a margem de erro (ME) é:
Passo 9
A diferença das médias amostrais é:
Então, o intervalo de confiança é:
Ou seja:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias das notas dos dois grupos é de 0,32 a 1,90 pontos. Como esse intervalo está totalmente acima de zero, concluímos que, em média, o Grupo I (que utilizou elementos de multimídia) obteve melhores resultados no teste do que o Grupo II (método tradicional).
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Uma academia comprará um lote de peças e pretende classificá-las de acordo com o peso, do seguinte modo: as de menor peso, representando
do total, são classificadas como leves, as
seguintes como médias e os outros
restantes como pesadas. Quais são os limites de peso para cada classificação?
Construir um intervalo de confiança para a média sendo
.
R: I.C.
R: I.C.
A distribuição dos pesos das peças de uma academia pode ser representada por uma distribuição normal, com média 25 kg e desvio padrão de 4 kg . Qual é a probabilidade de que uma peça, escolhida ao acaso, apresente peso:( 4,0 ptos; 2,0 pontos cada)
b) Entre 20 e 24 quilos;
b) Entre 20 e 24 quilos;
A distribuição dos pesos das peças de uma academia pode ser representada por uma distribuição normal, com média 25 kg e desvio padrão de 4 kg . Qual é a probabilidade de que uma peça, escolhida ao acaso, apresente peso:( 4,0 ptos; 2,0 pontos cada)
a) Inferior a 30 quilos;
a) Inferior a 30 quilos;