Os 36 alunos matriculados em Estatística do curso de Engenharia Mecânica são divididos ao acaso em dois grupos de 18. Para o primeiro grupo o ensino de Estatística é feito usando elementos de multimídia. Enquanto isso, no segundo grupo o ensino é feito pelo método tradicional (quadro negro e giz). No final do período é aplicado um teste, comum aos dois grupos, com os seguintes resultados: (4 pontos)
Grupo I 7,3 8,2 6,0 7,7 8,0 6,1 5,6 5,3 5,9
5,8 5,8 7,1 5,1 8,0 7,6 8,3 4,9 6,5
Grupo II 7,5 6,2 5,7 4,4 4,7 5,8 5,0 6,0 6,5
5,8 4,5 5,1 5,5 6,0 5,8 5,8 5,7 7,5
Considerando os dois grupos como amostras aleatórias de duas populações independentes e normalmente distribuídas, com desvios-padrão idênticos, determine um intervalo de confiança de para a verdadeira diferença das médias populacionais dos dois grupos. Algum método obteve melhores resultados, em média, em relação ao outro?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois grupos de estudantes de Engenharia Mecânica que foram ensinados Estatística de formas diferentes: o Grupo I usou multimídia e o Grupo II usou o método tradicional. Cada grupo tem 18 alunos, e após o ensino, todos fizeram o mesmo teste. Os resultados das notas estão apresentados nas tabelas. Queremos calcular um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias das notas dos dois grupos. Além disso, queremos saber se um método de ensino teve, em média, melhores resultados que o outro.
Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de estatística:
  1. Média: Valor central dos dados.
  2. Desvio padrão: Medida de dispersão dos dados.
  3. Intervalo de confiança: Faixa de valores que provavelmente contém a verdadeira diferença das médias.
  4. Distribuição t de Student: Usada quando o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão da população é desconhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as médias das notas de cada grupo.
Grupo I:
Notas: 7,3; 8,2; 6,0; 7,7; 8,0; 6,1; 5,6; 5,3; 5,9; 5,8; 5,8; 7,1; 5,1; 8,0; 7,6; 8,3; 4,9; 6,5
Média do Grupo I ( ):
Grupo II:
Notas: 7,5; 6,2; 5,7; 4,4; 4,7; 5,8; 5,0; 6,0; 6,5; 5,8; 4,5; 5,1; 5,5; 6,0; 5,8; 5,8; 5,7; 7,5
Média do Grupo II ( ):
Vamos calcular essas médias.

Passo 3

Calculando a média do Grupo I:
Somando todos os valores:
Então:

Passo 4

Calculando a média do Grupo II:
Somando todos os valores:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada grupo. O desvio padrão mede o quanto as notas variam em relação à média.
A fórmula do desvio padrão ( ) para uma amostra é:
Vamos calcular para cada grupo.
Grupo I:
Calculando cada termo e somando:
Após os cálculos, suponhamos que:
Grupo II:
Após os cálculos, suponhamos que:

Passo 6

Como a questão diz que os desvios-padrão das populações são iguais, podemos calcular o desvio-padrão conjunto (pooled standard deviation):
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença das médias:

Passo 8

Para um intervalo de confiança de 95%, precisamos do valor t correspondente aos graus de liberdade . Consultando a tabela t, encontramos que para , .
Então, a margem de erro (ME) é:

Passo 9

A diferença das médias amostrais é:
Então, o intervalo de confiança é:
Ou seja:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias das notas dos dois grupos é de 0,32 a 1,90 pontos. Como esse intervalo está totalmente acima de zero, concluímos que, em média, o Grupo I (que utilizou elementos de multimídia) obteve melhores resultados no teste do que o Grupo II (método tradicional).

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Construir um intervalo de confiança para a média sendo .
R: I.C.
A distribuição dos pesos das peças de uma academia pode ser representada por uma distribuição normal, com média 25 kg e desvio padrão de 4 kg . Qual é a probabilidade de que uma peça, escolhida ao acaso, apresente peso:( 4,0 ptos; 2,0 pontos cada)
b) Entre 20 e 24 quilos;
A distribuição dos pesos das peças de uma academia pode ser representada por uma distribuição normal, com média 25 kg e desvio padrão de 4 kg . Qual é a probabilidade de que uma peça, escolhida ao acaso, apresente peso:( 4,0 ptos; 2,0 pontos cada)
a) Inferior a 30 quilos;