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Seja . Defina a transformação linear .
(a) é injetora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se uma transformação linear definida pela matriz é injetora. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e usar o determinante da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação é injetora se cada vetor diferente de entrada for mapeado para vetores diferentes de saída. Ou seja, se implica que . Na prática, isso significa que a única solução para é .
Passo 3
Para verificar se é injetora, vamos analisar a matriz . Uma forma eficiente de saber se a transformação é injetora é calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero (), então é invertível e, portanto, é injetora. Se for zero, não é injetora.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz :
O determinante de é dado por:
Vamos resolver cada parte:
Resposta
Como o determinante de é igual a zero, a transformação linear não é injetora.