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Seja . Defina a transformação linear .
(a) é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se uma transformação linear definida pela matriz é injetora. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e usar o determinante da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação é injetora se cada vetor diferente de entrada for mapeado para vetores diferentes de saída. Ou seja, se implica que . Na prática, isso significa que a única solução para é .

Passo 3

Para verificar se é injetora, vamos analisar a matriz . Uma forma eficiente de saber se a transformação é injetora é calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero ( ), então é invertível e, portanto, é injetora. Se for zero, não é injetora.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz :
O determinante de é dado por:
Vamos resolver cada parte:

Resposta

Como o determinante de é igual a zero, a transformação linear não é injetora.

Exercícios relacionados

Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Se é uma transformação linear tal que é gerada por e , então ? Justifique.
Considere as seguintes T. lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
  3. definida por .
    Calcule o que se pede:
    (d)
Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição: