Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver usando o método da substituição. Sistemas lineares são conjuntos de equações onde as incógnitas aparecem apenas com expoentes de 1 e estão unidas por operações de soma e subtração.
As equações do sistema são:
Para resolver esse sistema, vamos precisar isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir essa expressão nas outras equações. Isso vai nos ajudar a reduzir o número de incógnitas passo a passo.

Passo 2

Vamos começar isolando uma das variáveis. Vou escolher isolar o x na terceira equação, porque o coeficiente de x nessa equação é menor, o que facilita a manipulação.
A terceira equação é:
Para isolar o x, vamos mover os outros termos para o outro lado da equação:

Passo 3

Agora que temos o x expresso em termos das outras variáveis, vamos substituir essa expressão nas outras duas equações do sistema. Isso vai nos ajudar a reduzir o número de variáveis nessas equações.
Primeira equação:
Substituindo x pela expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • y:
  • z:
  • w:
  • Constante:
Isso nos dá:

Passo 5

Vamos isolar os termos constantes. Subtraindo 2 de ambos os lados:
Essa é a equação simplificada resultante da substituição na primeira equação.

Passo 6

Agora, vamos fazer a mesma substituição na segunda equação do sistema original:
Substituindo x:

Passo 7

Explicando isso passo a passo:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • y:
  • z:
  • w:
  • Constante:
Então, a equação fica:

Passo 8

Isolando os termos constantes, subtraindo 3 de ambos os lados:
Agora, temos duas equações simplificadas:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar outra variável. Vou isolar w na segunda equação:
Isolando w:

Passo 10

Com a expressão de w, vamos substituir essa no primeiro sistema reduzido:
Substituindo w:

Passo 11

Expandindo:
Agora, combinando os termos semelhantes:
  • y:
  • z:
  • Constante:
Assim, a equação fica:

Passo 12

Vamos isolar os termos constantes, subtraindo 6 de ambos os lados:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:

Passo 13

Agora, vamos isolar uma das variáveis, por exemplo, y:
Dividindo ambos os lados por 9:

Passo 14

Com y expresso em termos de z, podemos encontrar as expressões para as outras variáveis.
Lembrando a expressão de w:
Substituindo y:
Simplificando:
Convertendo 2 para novenos:

Passo 15

Agora, voltando à expressão de x:
Substituindo y e w:
Simplificando:
Somando os termos:

Passo 16

Então, resumindo todas as expressões:
éâ

Resposta

As soluções do sistema são:
éâ
Isso significa que para qualquer valor escolhido para z, podemos determinar os valores correspondentes de x, y e w que satisfazem todas as equações do sistema.

Exercícios relacionados

Considere as seguintes T. lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
  3. definida por .
    Calcule o que se pede:
    (d)
38
Seja . Defina a transformação linear .
(a) é injetora?
Sejam e .
Determine e .
Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição: