Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver usando o método da substituição. Sistemas lineares são conjuntos de equações onde as incógnitas aparecem apenas com expoentes de 1 e estão unidas por operações de soma e subtração.
As equações do sistema são:
Para resolver esse sistema, vamos precisar isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir essa expressão nas outras equações. Isso vai nos ajudar a reduzir o número de incógnitas passo a passo.
Passo 2
Vamos começar isolando uma das variáveis. Vou escolher isolar o x na terceira equação, porque o coeficiente de x nessa equação é menor, o que facilita a manipulação.
A terceira equação é:
Para isolar o x, vamos mover os outros termos para o outro lado da equação:
Passo 3
Agora que temos o x expresso em termos das outras variáveis, vamos substituir essa expressão nas outras duas equações do sistema. Isso vai nos ajudar a reduzir o número de variáveis nessas equações.
Primeira equação:
Substituindo x pela expressão que encontramos:
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
y:
z:
w:
Constante:
Isso nos dá:
Passo 5
Vamos isolar os termos constantes. Subtraindo 2 de ambos os lados:
Essa é a equação simplificada resultante da substituição na primeira equação.
Passo 6
Agora, vamos fazer a mesma substituição na segunda equação do sistema original:
Substituindo x:
Passo 7
Explicando isso passo a passo:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
y:
z:
w:
Constante:
Então, a equação fica:
Passo 8
Isolando os termos constantes, subtraindo 3 de ambos os lados:
Agora, temos duas equações simplificadas:
Passo 9
Vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar outra variável. Vou isolar w na segunda equação:
Isolando w:
Passo 10
Com a expressão de w, vamos substituir essa no primeiro sistema reduzido:
Substituindo w:
Passo 11
Expandindo:
Agora, combinando os termos semelhantes:
y:
z:
Constante:
Assim, a equação fica:
Passo 12
Vamos isolar os termos constantes, subtraindo 6 de ambos os lados:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 13
Agora, vamos isolar uma das variáveis, por exemplo, y:
Dividindo ambos os lados por 9:
Passo 14
Com y expresso em termos de z, podemos encontrar as expressões para as outras variáveis.
Lembrando a expressão de w:
Substituindo y:
Simplificando:
Convertendo 2 para novenos:
Passo 15
Agora, voltando à expressão de x:
Substituindo y e w:
Simplificando:
Somando os termos:
Passo 16
Então, resumindo todas as expressões:
éâ
Resposta
As soluções do sistema são:
éâ
Isso significa que para qualquer valor escolhido para z, podemos determinar os valores correspondentes de x, y e w que satisfazem todas as equações do sistema.