Se é uma transformação linear tal que é gerada por e , então ? Justifique.
Passo 1
Então, o que estamos vendo aqui é uma transformação linear . O enunciado nos diz que a imagem dessa transformação () é gerada pelos vetores e . O que precisamos descobrir é se a dimensão do núcleo de () é igual a 2. Para resolver isso, vamos usar o teorema fundamental da álgebra linear chamado Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, leva vetores de para .
Passo 3
A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Aqui, sabemos que essa imagem é gerada por dois vetores: e .
Passo 4
Agora, precisamos saber a dimensão da imagem. A dimensão é o número de vetores linearmente independentes que geram o espaço. Vamos verificar se os dois vetores dados são linearmente independentes.
Passo 5
Para verificar a independência, vamos ver se um dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Olhando para e , vemos que não existe um escalar tal que . Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores são independentes, a dimensão da imagem () é 2.
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz: