Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Passo 1
Beleza, temos o exercício que pede para classificar e desenhar a superfície dada pela equação . A matéria envolvida aqui é sobre superfícies quadráticas, também conhecidas como quadricas, que são formas geométricas no espaço definidas por equações de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o tipo de superfície quadrática e como esboçá-la com base na equação fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da superfície. A equação dada é:
Vamos reescrever essa equação isolando o termo :
Agora, dividimos todos os termos por 36 para simplificar:
Simplificando as frações:
Passo 3
Agora, vamos analisar a forma obtida:
Essa é a equação padrão de um paraboloide elíptico. Um paraboloide é uma superfície gerada pela movimentação de uma parábola ao longo de um eixo perpendicular ao seu plano. No caso do paraboloide elíptico, as seções transversais paralelas ao eixo são elipses.
Passo 4
Para classificar a superfície:
Paraboloide Elíptico: Apresenta uma única direção de abertura e as seções transversais paralelas ao eixo são elipses.
Paraboloide Hiperbólico: Possui duas direções de abertura e as seções transversais paralelas ao eixo são hipérboles.
Paraboloide Circular: Similar ao elíptico, mas com seções transversais circulares.
Como nossa equação tem horários diferentes nos termos e , indica que as seções transversais são elipses, confirmando que se trata de um paraboloide elíptico.
Passo 5
Para esboçar o paraboloide elíptico :
Eixo de Simetria: no eixo , já que é expresso em termos de e .
Vértice: na origem .
Abertura: o paraboloide se abre na direção positiva do eixo .
Seções Transversais:
Para um valor fixo de , a equação representa uma elipse.
Quanto maior o valor de , as elipses são maiores.
Desenhando isso, temos uma forma que se expande de forma elíptica à medida que nos afastamos da origem ao longo do eixo .
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo , com vértice na origem, e possui seções transversais elípticas cujo tamanho aumenta conforme nos afastamos do vértice ao longo do eixo .