3a. Qual a carga por unidade de comprimento do painel (largura) quando a flambagem inicia;
3b. A carga por unidade de comprimento para o colapso total.
Hipóteses: - espessura fina (seções constantes)
- Após a flambagem inicial, a tensão na placa aumenta parabolicamente a partir do valor crítico no centro das seções
3b. A carga por unidade de comprimento para o colapso total.
Hipóteses: - espessura fina (seções constantes)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou duas perguntas sobre flambagem e colapso de um painel. Basicamente, precisamos descobrir:
3a. Qual a carga por unidade de comprimento quando a flambagem começa.
3b. Qual a carga por unidade de comprimento quando ocorre o colapso total.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teoria da flambagem e mecânica das estruturas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na flambagem. A flambagem ocorre quando uma estrutura, como nosso painel, se deforma de repente sob uma carga crítica. Para encontrar essa carga crítica, usamos a fórmula de Euler para flambagem de colunas:
Aqui:
- $ P_{cr} $ é a carga crítica de flambagem.
- $ E $ é o módulo de elasticidade do material.
- $ I $ é o momento de inércia da seção transversal.
- $ K $ é o fator de comprimento efetivo.
- $ L $ é o comprimento da coluna.
Como estamos falando de uma carga por unidade de comprimento, vamos adaptar essa fórmula para o nosso caso.
Passo 3
Considerando que o painel tem espessura fina e seções constantes, podemos simplificar a análise. O momento de inércia $ I $ para uma seção retangular (supondo que o painel seja assim) é:
Onde:
- $ b $ é a largura do painel.
- $ h $ é a altura (espessura fina).
Mas como queremos a carga por unidade de comprimento, vamos considerar que a carga $ P $ é distribuída ao longo do comprimento $ L $. Assim, a carga por unidade de comprimento $ w $ é:
Então, substituindo na fórmula de Euler:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o fator de comprimento efetivo $ K $. Isso depende das condições de apoio das extremidades do painel. Vamos supor, por simplicidade, que as extremidades são fixas, então $ K = 0.5 $.
Substituindo:
Passo 5
Substituindo o valor de $ I $ que encontramos:
Então, essa é a carga por unidade de comprimento no início da flambagem.
Passo 6
Agora, vamos para a carga de colapso total. Depois que a flambagem inicial ocorre, a tensão na placa aumenta de forma parabólica a partir do valor crítico no centro das seções, conforme a hipótese.
Isso significa que, até o colapso total, a carga continua a aumentar além da carga crítica de flambagem. Para encontrar a carga total, precisamos considerar a distribuição parabólica da tensão.
A carga total $ P_{colapso} $ pode ser relacionada à carga crítica por um fator que depende da distribuição da tensão. Sem entrar em detalhes complexos, podemos considerar que a carga de colapso total é proporcional à carga crítica:
Onde $ k $ é um fator que depende da forma da distribuição de tensão. Para uma distribuição parabólica, $ k $ geralmente é maior que 1.
Passo 7
Para uma distribuição parabólica, supondo que a carga de colapso ocorre quando a tensão na superfície do painel atinge o limite de resistência do material $ \sigma_{max} $, podemos relacionar isso com a carga crítica.
A relação exata depende dos detalhes do material e da geometria, mas para fins de simplificação, assumimos que:
Isso significa que a carga por unidade de comprimento para o colapso total é o dobro da carga crítica de flambagem.
Resposta
A carga por unidade de comprimento do painel quando a flambagem inicia é:
E a carga por unidade de comprimento para o colapso total é aproximadamente: