O sistema está em equilibrio.
Os ângulos
e
. A bola tem massa M .
CALCULE a tensão
e a tensão
.
parâmetros conhecidos:
e
.
Os ângulos
CALCULE a tensão
parâmetros conhecidos:
Passo 1
Vamos resolver um problema de equilíbrio estático envolvendo uma bola de massa $ M $ suspensa por duas cordas que formam os ângulos $ \theta_{1} $ e $ \theta_{2} $ com a vertical. Nosso objetivo é calcular as tensões nas cordas, denominadas $ T_{ab} $ e $ T_{bc} $. Para isso, vamos utilizar os conceitos de equilíbrio de forças e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, em equilíbrio, a soma das forças que atuam na bola deve ser igual a zero. Isso significa que as componentes das forças nas direções horizontal e vertical se anulam mutuamente.
Passo 3
Identificamos as forças atuantes na bola:
- O peso da bola, $ P = M \cdot g $, atuando na direção vertical para baixo.
- As tensões nas cordas $ T_{ab} $ e $ T_{bc} $, que têm componentes nas direções horizontal e vertical.
Passo 4
Vamos decompor as tensões $ T_{ab} $ e $ T_{bc} $ em suas componentes:
- Para $ T_{ab} $:
- Componente vertical: $ T_{ab} \cdot \sin(\theta_{1}) $
- Componente horizontal: $ T_{ab} \cdot \cos(\theta_{1}) $
- Para $ T_{bc} $:
- Componente vertical: $ T_{bc} \cdot \sin(\theta_{2}) $
- Componente horizontal: $ T_{bc} \cdot \cos(\theta_{2}) $
Passo 5
Como a soma das forças na direção vertical deve ser zero:
E na direção horizontal:
Isso nos dá duas equações com duas incógnitas ($ T_{ab} $ e $ T_{bc} $).
Passo 6
Vamos isolar uma das tensões na segunda equação. Por exemplo, isolando $ T_{ab} $:
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
Passo 7
Simplificando a equação:
Podemos reescrever $ \frac{\sin(\theta_{1})}{\cos(\theta_{1})} $ como $ \tan(\theta_{1}) $, então:
Passo 8
Isolando $ T_{bc} $:
Utilizando identidades trigonométricas, podemos simplificar ainda mais a expressão, mas essa forma já nos permite calcular $ T_{bc} $ com os valores dados.
Passo 9
Agora que temos $ T_{bc} $, podemos substituir de volta na expressão que encontramos para $ T_{ab} $:
Substituindo $ T_{bc} $:
Simplificando a expressão:
Resposta
As tensões nas cordas são: