Se P(A)=0,43 ; P(B)=0,29 ; P(C)=0,30 e P(A cap B)=0,13, P(A cap C)=0,15, P(B cap C)=0,07 e P(A cap B cap C)=0,03. Calcular
(a) P(A cap C mid B cap C)
(b) P(barB mid A cup C).
R. (a) 3 / 7 approx 0,42857 (b) 41 / 58 approx 0,7069.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três eventos , e com suas respectivas probabilidades e interseções. O conteúdo aqui envolve probabilidade condicional, que nos ajuda a descobrir a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu. Precisaremos usar as definições de probabilidade condicional e propriedades de interseções de eventos.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a): P(X mid Y) = P(X cap Y)P(Y) . A probabilidade condicional P(A cap C mid B cap C) = P(A cap C cap B cap C)P(B cap C) é dada por:
Aqui, é e é . Então, temos:
Note que é o mesmo que , pois .

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos:
P(A cap B cap C) = 0,03 e P(B cap C) = 0,07
Portanto:
P(A cap C mid B cap C) = 0,030,07 = 37 approx 0,42857

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): P(barB mid A cup C) = P(barB cap (A cup C))P(A cup C) . Aqui, é o complemento de , ou seja, o evento de não ocorrer. A probabilidade condicional é:
Primeiro, precisamos calcular .

Passo 5

Usando a fórmula da união de dois eventos:
P(A cup C) = P(A) + P(C) - P(A cap C)
Substituindo os valores:
P(A cup C) = 0,43 + 0,30 - 0,15 = 0,58

Passo 6

Agora, vamos calcular P(barB cap A) + P(barB cap C) - P(barB cap A cap C) . Isso significa a probabilidade de P(barB cap A) = P(A) - P(A cap B) = 0,43 - 0,13 = 0,30 não ocorrer e pelo menos um entre P(barB cap C) = P(C) - P(B cap C) = 0,30 - 0,07 = 0,23 ou P(barB cap A cap C) = P(A cap C) - P(A cap B cap C) = 0,15 - 0,03 = 0,12 ocorrer. Podemos dividir isso em:
P(barB cap (A cup C)) = 0,30 + 0,23 - 0,12 = 0,41
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

(a)
(b)

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