Verifique se são válidas as afirmações:
(a) Se P(A)=13 e P(B mid A)=35 então A e B são disjuntos.
(b) Se P(A)=12 e P(B mid A)=1 e P(A mid B)=12 então A não pode estar contido em B.

Passo 1

Vamos analisar a primeira afirmação:
(a) Se e , então e são disjuntos.
Aqui, estamos trabalhando com probabilidade condicional e verificando se dois eventos são disjuntos (ou seja, mutuamente exclusivos).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica a probabilidade de ocorrer dado que já aconteceu. Para e serem disjuntos, deveria ser 0, já que se um ocorre, o outro não pode ocorrer.

Passo 3

Como é diferente de 0, isso significa que há uma chance de ocorrer quando ocorre. Portanto, e não são disjuntos.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se , e , então não pode estar contido em .
Aqui, analisamos se o evento está contido em com base nas probabilidades condicionais fornecidas.

Passo 5

Sabemos que significa que sempre que acontece, também acontece. Isso sugere que está contido em .

Passo 6

No entanto, indica que apenas metade das vezes que ocorre, ocorre. Se estivesse totalmente contido em , esperaríamos que .

Passo 7

Calculando usando a regra da probabilidade total:

Como e , temos:

Passo 8

Sabendo que , substituindo :

Resolvendo, temos .

Passo 9

Se , isso significa que sempre ocorre. Portanto, está realmente contido em , já que sempre que ocorre, também ocorre.

Resposta

(a) A afirmação é falsa.
(b) A afirmação é falsa.

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