Verifique se são válidas as afirmações:
(a) Se
e
então
e
são disjuntos.
(b) Se
e
e
então
não pode estar contido em
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Vamos analisar a primeira afirmação:
(a) Se e
, então
e
são disjuntos.
(a) Se
Aqui, estamos trabalhando com probabilidade condicional e verificando se dois eventos são disjuntos (ou seja, mutuamente exclusivos).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica a probabilidade de
ocorrer dado que
já aconteceu. Para
e
serem disjuntos,
deveria ser 0, já que se um ocorre, o outro não pode ocorrer.
Passo 3
Como
é diferente de 0, isso significa que há uma chance de
ocorrer quando
ocorre. Portanto,
e
não são disjuntos.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se ,
e
, então
não pode estar contido em
.
(b) Se
Aqui, analisamos se o evento
está contido em
com base nas probabilidades condicionais fornecidas.
Passo 5
Sabemos que
significa que sempre que
acontece,
também acontece. Isso sugere que
está contido em
.
Passo 6
No entanto,
indica que apenas metade das vezes que
ocorre,
ocorre. Se
estivesse totalmente contido em
, esperaríamos que
.
Passo 7
Calculando
usando a regra da probabilidade total:
Como e
, temos:
Como
Passo 8
Sabendo que
, substituindo
:
Resolvendo, temos .
Resolvendo, temos
Passo 9
Se
, isso significa que
sempre ocorre. Portanto,
está realmente contido em
, já que sempre que
ocorre,
também ocorre.
Resposta
(a) A afirmação é falsa.
(b) A afirmação é falsa.
(b) A afirmação é falsa.