(43) sumn=1^infty(2^-n-2^-3 n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma infinita:
sumn=1^infty(2^-n - 2^-3n)
Esse problema envolve séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre si. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Vamos separar a soma original em duas séries geométricas diferentes:
sumn=1^infty 2^-n e sumn=1^infty 2^-3n
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas individualmente.

Passo 3

Primeiro, consideramos a série:
sumn=1^infty 2^-n
Aqui, a primeira termo S = a11 - r é S1 = 121 - 12 = 1212 = 1 e a razão é também , já que cada termo é metade do anterior.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda série:
sumn=1^infty 2^-3n
Aqui, o primeiro termo S2 = 181 - 18 = 1878 = 17 é e a razão é também , pois cada termo é do anterior.
Usando a mesma fórmula da série geométrica infinita:

Passo 5

Agora que temos as duas somas individuais, vamos subtrair a segunda da primeira, conforme a expressão original:
sumn=1^infty(2^-n - 2^-3n) = S1 - S2 = 1 - 17

Resposta

A soma infinita é igual a .

Exercícios relacionados

Considere a dedução da derivada da função f(x) = x^2 no ponto x0 = 2 pela definição formal de derivada. Dentre as alternativas a seguir, indique a única que corresponde à conclusão que chegamos durante essa dedução:
(a) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x tende para 4 quando Delta x tende a 0 .
(b) (4 + (Delta x)²) / Delta x tende para +infinito quando Delta x tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto x_0.
© (4 + 4 Delta x + (Delta x)^(2)) / Delta x tende para 4 quando Delta x tende a 0.
(d) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x é um limite indeterminado quando Delta x tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto x_0.
(e) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x tende para valores diferentes se Delta x tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto x_0.
Seja g(x) uma função derivável e considere a função h(x) = x^3 / g(x). Sabendo que 3 g(x) > x g'(x) no intervalo (0, infinito), o que sabemos sobre h(x) ?
(a) h(x) é crescente no intervalo (0, infinito).
(b) h(x) é decrescente no intervalo (0, infinito).
© h(x) atinge um valor máximo.
(d) h(x) atinge um valor mínimo.
(e) h(x) atinge um valor máximo e um valor mínimo.
Mostre que a equação 10^x = x^1000 tem ao menos duas soluções positivas. (2pts)
Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim x (0^+)(3 x)^4 / x= square