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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma infinita:
Esse problema envolve séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre si. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Vamos separar a soma original em duas séries geométricas diferentes:
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas individualmente.
Passo 3
Primeiro, consideramos a série:
Aqui, a primeira termo
é
e a razão
é também
, já que cada termo é metade do anterior.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda série:
Aqui, o primeiro termo
é
e a razão
é também
, pois cada termo é
do anterior.
Usando a mesma fórmula da série geométrica infinita:
Passo 5
Agora que temos as duas somas individuais, vamos subtrair a segunda da primeira, conforme a expressão original:
Resposta
A soma infinita é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere a dedução da derivada da função
no ponto
pela definição formal de derivada. Dentre as alternativas a seguir, indique a única que corresponde à conclusão que chegamos durante essa dedução:
(a) tende para 4 quando
tende a 0 .
(b) tende para
quando
tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto
.
© tende para 4 quando
tende a 0.
(d) é um limite indeterminado quando
tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto
.
(e) tende para valores diferentes se
tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Seja
uma função derivável e considere a função
. Sabendo que
no intervalo
, o que sabemos sobre
?
(a) é crescente no intervalo
.
(b) é decrescente no intervalo
.
© atinge um valor máximo.
(d) atinge um valor mínimo.
(e) atinge um valor máximo e um valor mínimo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Mostre que a equação
tem ao menos duas soluções positivas. (2pts)
Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)