Seja g(x) uma função derivável e considere a função h(x) = x^3 / g(x). Sabendo que 3 g(x) > x g'(x) no intervalo (0, infinito), o que sabemos sobre h(x) ?
(a) h(x) é crescente no intervalo (0, infinito).
(b) h(x) é decrescente no intervalo (0, infinito).
© h(x) atinge um valor máximo.
(d) h(x) atinge um valor mínimo.
(e) h(x) atinge um valor máximo e um valor mínimo.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função onde é derivável. A gente precisa descobrir o comportamento de no intervalo de positivo, usando a condição . Vamos precisar usar derivadas para ver se está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Lembrando que para derivar uma função que é uma fração, usamos a regra do quociente:

Passo 3

Simplificando a derivada:
Podemos fatorar no numerador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada . O denominador é sempre positivo, já que é o quadrado de . O fator também é positivo para todo .
Então, o sinal de depende apenas de . Pela condição dada no enunciado, sabemos que , ou seja, .

Passo 5

Como é o produto de termos positivos, concluímos que para todo . Isso significa que a função está sempre aumentando no intervalo considerado.

Resposta

(a) é crescente no intervalo .

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Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim x 5 12 x-60x^3-125= square
Derive a função f(x) = 2 x^2 / (9 - 5 x^3) e assinale a resposta correta.
(a) f'(x) = 2 x (18 + 5 x^3) / (9 - 5 x^3)^2. (b) f'(x) = 2(18 - 5x^3) / (9 - 5x^3)^2.
© f'(x) = x(36 - 5x^3) / (9 - 5x^3)^2.
(d) f'(x) = (36 - 10 x^3) / (9 - 5 x^3)^2.
(e) f'(x) = 2 x (18 - 5 x^3) / (9 - 5 x^3)^2.
Considere a dedução da derivada da função f(x) = x^2 no ponto x0 = 2 pela definição formal de derivada. Dentre as alternativas a seguir, indique a única que corresponde à conclusão que chegamos durante essa dedução:
(a) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x tende para 4 quando Delta x tende a 0 .
(b) (4 + (Delta x)²) / Delta x tende para +infinito quando Delta x tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto x_0.
© (4 + 4 Delta x + (Delta x)^(2)) / Delta x tende para 4 quando Delta x tende a 0.
(d) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x é um limite indeterminado quando Delta x tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto x_0.
(e) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x tende para valores diferentes se Delta x tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto x_0.
(43) sumn=1^infty(2^-n-2^-3 n)