Mostre que a equação
tem ao menos duas soluções positivas. (2pts)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e funções de potência. Para mostrar que essa equação tem pelo menos duas soluções positivas, vamos analisar o comportamento dessas funções e encontrar onde elas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
-
é uma função exponencial crescente. -
é uma função de potência que também cresce, mas de forma diferente.
Queremos encontrar os valores de
onde
, ou seja, onde as duas funções se encontram.
Passo 3
Vamos analisar os valores de
próximos a 0 e para valores muito grandes de
:
-
Quando
é próximo de 0: -
se aproxima de 1, porque qualquer número a potência é 1. -
se aproxima de 0, já que é pequeno e elevado a uma potência muito grande.
Nesse caso,. -
-
Quando
é muito grande: -
cresce muito rapidamente. -
também cresce rápido, mas comparando as taxas de crescimento, a exponencial cresce mais rápido que qualquer potência de .
Portanto, paragrande, . -
Passo 4
Agora, vamos verificar entre esses extremos. Considerando que em
:
Aqui,
.
E para
:
-
é um número muito grande. -
também é extremamente grande, mas mesmo assim, a função ultrapassa em determinado ponto.
Isso sugere que existe um ponto onde
cresce mais rápido que
, e depois, para
ainda maior,
passa a crescer novamente mais rápido.
Passo 5
Pelo Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Aplicando isso à diferença
:
- Entre
e , vai de positivo para positivo. - Entre
e algum , a diferença pode mudar de positiva para negativa. - Depois, para
maior que , muda de negativo para positivo novamente.
Isso indica que há pelo menos duas mudanças de sinal, ou seja, pelo menos duas soluções positivas para a equação
.
Resposta
A equação
possui pelo menos duas soluções positivas.
Exercícios relacionados
(43)
Considere a dedução da derivada da função
no ponto
pela definição formal de derivada. Dentre as alternativas a seguir, indique a única que corresponde à conclusão que chegamos durante essa dedução:
(a) tende para 4 quando
tende a 0 .
(b) tende para
quando
tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto
.
© tende para 4 quando
tende a 0.
(d) é um limite indeterminado quando
tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto
.
(e) tende para valores diferentes se
tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)