Considere a dedução da derivada da função
no ponto
pela definição formal de derivada. Dentre as alternativas a seguir, indique a única que corresponde à conclusão que chegamos durante essa dedução:
(a)
tende para 4 quando
tende a 0 .
(b)
tende para
quando
tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto
.
©
tende para 4 quando
tende a 0.
(d)
é um limite indeterminado quando
tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto
.
(e)
tende para valores diferentes se
tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função
no ponto
usando a definição formal de derivada. Isso envolve entender o que é derivada, usar a definição de limite e aplicar essas ideias para resolver a questão. Vamos precisar lembrar como calcular limites e manipular expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição formal da derivada. A derivada de
no ponto
é dada por:
Nesse caso,
e
, então vamos substituir na fórmula.
Passo 3
Substituindo os valores na definição:
Vamos expandir o termo
:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na expressão:
Passo 5
Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A alternativa correta é a (a):
tende para 4 quando
tende a 0.
Exercícios relacionados
Seja
uma função derivável e considere a função
. Sabendo que
no intervalo
, o que sabemos sobre
?
(a) é crescente no intervalo
.
(b) é decrescente no intervalo
.
© atinge um valor máximo.
(d) atinge um valor mínimo.
(e) atinge um valor máximo e um valor mínimo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)
(43)
Mostre que a equação
tem ao menos duas soluções positivas. (2pts)