[5] (2,0 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força de uma partícula que se move sobre a parábola de a .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força em uma partícula que se move ao longo de uma parábola específica. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, mais precisamente a integração de linha para encontrar o trabalho realizado por um campo de força. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho da partícula e então calcular a integral de linha usando as componentes do campo de força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho que a partícula está seguindo. A parábola dada é . Sabemos que a partícula vai de a . Para facilitar a integração, vamos parametrizar esse caminho em termos de .
Como , podemos usar como nosso parâmetro. Assim, definimos:
E o intervalo para vai de 0 a 1, já que a partícula começa em e termina em .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá o vetor tangente ao caminho:
Esse vetor nos ajuda a expressar , que é usado na integral de linha para calcular o trabalho.
Passo 4
O trabalho realizado pelo campo de força ao longo do caminho é dado pela integral de linha:
Substituindo e , temos:
E,
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar :
Então, o trabalho fica:
Passo 6
Vamos agora resolver a integral separadamente:
Primeiro, resolvemos . Podemos usar a substituição , então :
Avaliado de 0 a 1:
Agora, para , usamos a substituição , então ou :
Avaliado de 0 a 1:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas partes para obter o trabalho total: