Use o método dos multiplicadores de Lagrange pra resolver os seguintes itens: Achar as distâncias mínima e máxima da elipse à reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as distâncias mínima e máxima da elipse até a reta . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para otimizar (no caso, minimizar ou maximizar) uma função sujeita a uma restrição. Aqui, nossa função a ser otimizada é a distância entre um ponto na elipse e a reta, e a restrição é a própria equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto até uma reta . A fórmula é:
No nosso caso, a reta é , que podemos reescrever como . Então, , , e . A função distância fica:
Para simplificar, vamos trabalhar com a função que queremos otimizar sem a parte do valor absoluto, já que vamos considerar os pontos que tornam essa expressão máxima ou mínima.
Passo 3
Agora, vamos definir a nossa função que queremos otimizar, que é o quadrado da distância (isso facilita as derivadas e evita o valor absoluto):
E a restrição é a equação da elipse:
Usaremos os multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos na elipse que minimizam ou maximizam .
Passo 4
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, no ponto ótimo, o gradiente da nossa função é paralelo ao gradiente da restrição . Matemáticamente, isso se expressa como:
Onde é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.
Vamos calcular os gradientes:
Então, temos o sistema de equações:
E a restrição:
Passo 5
Vamos simplificar as equações (1) e (2):
Da equação (1):
Da equação (2):
Agora, vamos resolver essas duas equações para . Da (1’):
Da (2’):
Igualando as duas expressões para :
Passo 6
Para resolver a equação acima, notamos que aparece em ambos os lados. Se , podemos dividir os dois lados por :
Agora, temos uma relação entre e : . Vamos usar isso na restrição da elipse para encontrar os valores de .
Passo 7
Substituindo na equação da elipse :
Então, . E como , temos:
Então, os pontos são e .
Passo 8
Agora, vamos calcular a distância desses pontos até a reta usando a fórmula que vimos:
Vamos calcular para o primeiro ponto :
E para o segundo ponto :
Passo 9
Vamos simplificar essas expressões. Primeiro, lembrando que , temos:
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:
Passo 10
Podemos racionalizar os denominadores multiplicando numerador e denominador por :
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:
Resposta
As distâncias mínima e máxima da elipse à reta são, respectivamente: