Mostre que o campo escalar
é harmônico em cada sólido que não contém a origem, isto é,
satisfaz a equação
para todo
. A menos de uma constante, f é uma função potêncial para o campo gravitacional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função
é harmônica em qualquer região que não contenha a origem. Isso significa que ela deve satisfazer a equação de Laplace:
Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somá-las para ver se realmente dão zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
.
A função
pode ser escrita como:
Usando a regra da cadeia para derivadas, a primeira derivada em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Isso significa derivar novamente
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular as segundas derivadas em relação a
e
:
Passo 5
Agora, vamos somar as três segundas derivadas parciais:
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso significa que a função
é harmônica em todo ponto onde
, e, além de uma constante, ela é uma função potencial para o campo gravitacional.
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a
.
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