Use a definição de diferenciabilidade para obter o gradiente das seguintes funções. f(x, y) = 3 x^2 - x y + y

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos encontrar o gradiente da função usando a definição de diferenciabilidade. Isso envolve entender como calcular as derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das suas variáveis. Para , o gradiente será:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa derivar tratando como uma constante:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante:

Resposta

Assim, o gradiente da função é dado por:

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[5] (2,0 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y, z) = x^2 i + y e^x j de uma partícula que se move sobre a parábola x = y^2 + 1 de 1,0 a (2,1).
Use o método dos multiplicadores de Lagrange pra resolver os seguintes itens: Achar as distâncias mínima e máxima da elipse x^2 + 4y^2 = 16 à reta y = x - 10.
Mostre que o campo escalar f(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2 é harmônico em cada sólido que não contém a origem, isto é, f(x, y, z) satisfaz a equação partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 para todo (x, y, z) neq(0,0,0). A menos de uma constante, f é uma função potêncial para o campo gravitacional.
Calcular os extremos das funções, quando estes existirem. z = x^2 - x*y + y^2