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Verifique que
é autovalor e
seu autovetor associado do operador
se
.
Verifique que
Passo 1
Entendendo o problema e o que precisamos fazer
Vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se
é um autovalor e
é o autovetor associado para o operador
definido por
, onde
é a segunda derivada de
.
Basicamente, um autovalor
e um autovetor
satisfazem a equação
. Isso significa que, ao aplicar o operador
no vetor
, o resultado deve ser igual ao vetor
multiplicado pelo escalar
.
Vamos precisar saber como calcular derivadas e entender o conceito de operadores lineares, autovalores e autovetores.
Passo 2
Aplicando o operador
no vetor
Primeiro, vamos aplicar o operador
em
. Pelo enunciado,
, então:
Passo 3
Calculando a segunda derivada de
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então:
Passo 4
Verificando se
Agora, vamos comparar o resultado de
com
:
Observamos que:
Isso confirma que, ao aplicar
em
, obtemos exatamente
.
Resposta
Sim,
é um autovalor e
é o autovetor associado ao operador
.