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Verifique que lambda=-omega^2 é autovalor e v=cos (omega t) seu autovetor associado do operador T: C(R) C(R) se T(f(t))=f^prime prime(t).

Passo 1

Entendendo o problema e o que precisamos fazer
Vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se é um autovalor e é o autovetor associado para o operador definido por , onde é a segunda derivada de .
Basicamente, um autovalor e um autovetor satisfazem a equação . Isso significa que, ao aplicar o operador no vetor , o resultado deve ser igual ao vetor multiplicado pelo escalar .
Vamos precisar saber como calcular derivadas e entender o conceito de operadores lineares, autovalores e autovetores.

Passo 2

Aplicando o operador T(v) = T(cos(omega t)) = d^2dt^2 cos(omega t) no vetor
Primeiro, vamos aplicar o operador em . Pelo enunciado, , então:

Passo 3

Calculando a segunda derivada de ddt cos(omega t) = -omega sin(omega t)
Vamos calcular a segunda derivada de d^2dt^2 cos(omega t) = ddt ( -omega sin(omega t) ) = -omega^2 cos(omega t) :
Primeira derivada:
T(v) = -omega^2 cos(omega t)
Segunda derivada:
Então:

Passo 4

Verificando se lambda v = -omega^2 cdot cos(omega t)
Agora, vamos comparar o resultado de T(v) = -omega^2 cos(omega t) = lambda v com :
Observamos que:
Isso confirma que, ao aplicar em , obtemos exatamente .

Resposta

Sim, é um autovalor e é o autovetor associado ao operador .

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