Seja beta=v1, cdots, vn uma base ortonormal de um espaço vetorial V. Conclua que, se v=c1 v1+cdots cn vn, então |v|=raizc1^2+cdots+cn^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base ortonormal beta = v1, cdots, vn de um espaço vetorial V. Isso significa que cada vetor da base tem norma 1 e são mutuamente ortogonais. A questão quer que a gente mostre que, se tivermos um vetor v escrito como uma combinação linear desses vetores da base, ou seja, v = c1 v1 + cdots + cn vn, então a norma de v é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes c1, cdots, cn. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de bases ortonormais e o conceito de norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em uma base ortonormal, os vetores são mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma 1. Ou seja, para qualquer i e j, temos:
lang<= vi, vj rang<= = 1 & se i = j, 0 & se i neq j
Essa propriedade será fundamental para simplificar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de v. A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo:
|v| = raizlang<= v, v rang<=
Então, precisamos calcular lang<= v, v rang<=.

Passo 4

Substituindo a expressão de v na definição do produto interno:
lang<= v, v rang<= = lang<= c1 v1 + cdots + cn vn, c1 v1 + cdots + cn vn rang<=
Isso pode ser expandido usando a propriedade distributiva do produto interno.

Passo 5

Expandindo o produto interno, temos:
lang<= v, v rang<= = sumi=1^n sumj=1^n ci cj lang<= vi, vj rang<=
Aqui, estamos somando todos os produtos dos coeficientes ci cj multiplicados pelos produtos internos lang<= vi, vj rang<=.

Passo 6

Mas lembra da propriedade da base ortonormal? Sabemos que lang<= vi, vj rang<= é 1 se i = j e 0 caso contrário. Então, todos os termos onde i neq j desaparecem, e só sobramos com os termos onde i = j:
lang<= v, v rang<= = sumi=1^n ci^2

Passo 7

Agora, voltando à definição da norma:
|v| = raizlang<= v, v rang<= = raizsumi=1^n ci^2
Isso mostra que a norma de v é realmente a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes c1, cdots, cn.

Resposta

Portanto, mostramos que |v| = raizc1^2 + cdots + cn^2.

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