Seja uma base ortonormal de um espaço vetorial . Conclua que, se , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base ortonormal de um espaço vetorial . Isso significa que cada vetor da base tem norma 1 e são mutuamente ortogonais. A questão quer que a gente mostre que, se tivermos um vetor escrito como uma combinação linear desses vetores da base, ou seja, , então a norma de é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de bases ortonormais e o conceito de norma de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em uma base ortonormal, os vetores são mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma 1. Ou seja, para qualquer e , temos:
Essa propriedade será fundamental para simplificar os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de . A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo:
Então, precisamos calcular .
Passo 4
Substituindo a expressão de na definição do produto interno:
Isso pode ser expandido usando a propriedade distributiva do produto interno.
Passo 5
Expandindo o produto interno, temos:
Aqui, estamos somando todos os produtos dos coeficientes multiplicados pelos produtos internos .
Passo 6
Mas lembra da propriedade da base ortonormal? Sabemos que é 1 se e 0 caso contrário. Então, todos os termos onde desaparecem, e só sobramos com os termos onde :
Passo 7
Agora, voltando à definição da norma:
Isso mostra que a norma de v é realmente a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes c1, cdots, cn.
Resposta
Portanto, mostramos que |v| = raizc1^2 + cdots + cn^2.