b) Encontre a taxa na qual a água está sendo drenada do tanque após
40 min . Em que momento a água está vazando mais rápido? O mais lento? Resumir suas descobertas.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem uma função que descreve o volume de água no tanque ao longo do tempo:
A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, para encontrar a taxa de variação do volume de água com relação ao tempo. Ou seja, vamos descobrir quão rápido a água está saindo do tanque em determinados momentos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
, que representa a taxa de drenagem da água. A derivada nos dirá exatamente isso: quanto o volume de água está mudando por minuto.
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a Regra da Cadeia. Essa regra é útil quando temos uma função composta, como é o caso aqui, onde uma função está dentro de outra.
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia:
-
Primeiro, derivamos a parte externa em relação à parte interna:Se
, então . -
Depois, multiplicamos pela derivada da parte interna:A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada completa fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Multiplicando os números:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a taxa de drenagem após 5, 10, 20 e 40 minutos substituindo
na expressão da derivada.
- Para
minutos:
- Para
minutos:
- Para
minutos:
- Para
minutos:
Passo 7
Observando os resultados:
- A taxa de drenagem diminui com o passar do tempo.
- A água está vazando mais rápido no início (
minutos) com -218,75 litros/min. - A drenagem desacelera ao longo do tempo, chegando a parar completamente aos 40 minutos.
Resposta
Após 5 minutos, a taxa de drenagem é de -218,75 litros/min; após 10 minutos, -187,5 litros/min; após 20 minutos, -125 litros/min; e aos 40 minutos, 0 litros/min. A água está vazando mais rápido nos primeiros minutos e desacelera até parar aos 40 minutos.