V = 5000(1 - (1/40)t)^{2}, 0 <= t <= 40
b) Encontre a taxa na qual a água está sendo drenada do tanque após 5 min, 10 min, 20 min e 40 min . Em que momento a água está vazando mais rápido? O mais lento? Resumir suas descobertas.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem uma função que descreve o volume de água no tanque ao longo do tempo:
A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, para encontrar a taxa de variação do volume de água com relação ao tempo. Ou seja, vamos descobrir quão rápido a água está saindo do tanque em determinados momentos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a , que representa a taxa de drenagem da água. A derivada nos dirá exatamente isso: quanto o volume de água está mudando por minuto.

Passo 3

Para derivar , vamos usar a Regra da Cadeia. Essa regra é útil quando temos uma função composta, como é o caso aqui, onde uma função está dentro de outra.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
  1. Primeiro, derivamos a parte externa em relação à parte interna:
    Se , então .
  2. Depois, multiplicamos pela derivada da parte interna:
    A derivada de em relação a é .
Então, a derivada completa fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Multiplicando os números:
Então, a derivada simplificada é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a taxa de drenagem após 5, 10, 20 e 40 minutos substituindo na expressão da derivada.
  1. Para minutos:
  1. Para minutos:
  1. Para minutos:
  1. Para minutos:

Passo 7

Observando os resultados:
  • A taxa de drenagem diminui com o passar do tempo.
  • A água está vazando mais rápido no início ( minutos) com -218,75 litros/min.
  • A drenagem desacelera ao longo do tempo, chegando a parar completamente aos 40 minutos.

Resposta

Após 5 minutos, a taxa de drenagem é de -218,75 litros/min; após 10 minutos, -187,5 litros/min; após 20 minutos, -125 litros/min; e aos 40 minutos, 0 litros/min. A água está vazando mais rápido nos primeiros minutos e desacelera até parar aos 40 minutos.

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