Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para o qual a solução se aproxima muito do eixo
mas não o atravessa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é:
Aqui, queremos encontrar o valor de
que faz com que a solução dessa equação se aproxime muito do eixo
(ou seja,
fique próximo de zero) mas sem cruzá-lo. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, onde
e
. Para resolver, precisamos achar um fator que vai nos ajudar a integrar a equação. Esse fator é chamado de fator integrante e é calculado pela fórmula:
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante:
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver a integral no lado direito:
Podemos dividir essa integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a integração por partes, onde deixamos
e
. Assim,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá:
Então, a solução geral fica:
Passo 8
Queremos que a solução
se aproxime do eixo
(ou seja,
se aproxime de zero) mas sem cruzá-lo. Observando a solução:
À medida que
aumenta, o termo
tende a zero devido ao
. O termo dominante será
.
Para que
não cruze o eixo
, o termo constante deve equilibrar o termo linear. Isso acontece quando a parte constante cancela o termo linear no limite. Portanto, para evitar que
cruze zero, devemos ter:
Mas como queremos que a solução se aproxime do eixo
sem cruzar, devemos ajustar
de forma que o termo exponencial neutralize o efeito do termo linear inicialmente. Isso ocorre quando o coeficiente
é zero:
Assim, a solução se torna:
Embora ainda haja um termo linear, escolher
minimiza o impacto inicial do termo exponencial, fazendo com que a solução se aproxime mais do eixo
sem cruzá-lo imediatamente.
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.
Exercícios relacionados
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
b) Considerando a letra a), encontre as equações das retas tangentes nos pontos
e
.
a) Determine as expressões da velocidade e da aceleração instantâneas da partícula