Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de para o qual a solução se aproxima muito do eixo mas não o atravessa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é:
Aqui, queremos encontrar o valor de que faz com que a solução dessa equação se aproxime muito do eixo (ou seja, fique próximo de zero) mas sem cruzá-lo. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, onde e . Para resolver, precisamos achar um fator que vai nos ajudar a integrar a equação. Esse fator é chamado de fator integrante e é calculado pela fórmula:

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante:
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial por :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral no lado direito:
Podemos dividir essa integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a integração por partes, onde deixamos e . Assim, e .
Aplicando a integração por partes:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Isso nos dá:
Então, a solução geral fica:

Passo 8

Queremos que a solução se aproxime do eixo (ou seja, se aproxime de zero) mas sem cruzá-lo. Observando a solução:
À medida que aumenta, o termo tende a zero devido ao . O termo dominante será .
Para que não cruze o eixo , o termo constante deve equilibrar o termo linear. Isso acontece quando a parte constante cancela o termo linear no limite. Portanto, para evitar que cruze zero, devemos ter:
ãéí
Mas como queremos que a solução se aproxime do eixo sem cruzar, devemos ajustar de forma que o termo exponencial neutralize o efeito do termo linear inicialmente. Isso ocorre quando o coeficiente é zero:
Assim, a solução se torna:
Embora ainda haja um termo linear, escolher minimiza o impacto inicial do termo exponencial, fazendo com que a solução se aproxime mais do eixo sem cruzá-lo imediatamente.

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

Exercícios relacionados

Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
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b) Considerando a letra a), encontre as equações das retas tangentes nos pontos e .
a) Determine as expressões da velocidade e da aceleração instantâneas da partícula