a) Determine as expressões da velocidade e da aceleração instantâneas da partícula

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição da partícula dada por para . Aqui, vamos trabalhar com cinemática, que é o estudo do movimento. Para encontrar a velocidade e a aceleração instantâneas, vamos usar cálculo, mais especificamente, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo.
Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Aplicando a regra da potência para cada termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração instantânea, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, vamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade:

Passo 5

Vamos derivar :
Aplicando a regra da potência novamente:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a aceleração fica:

Resposta

A velocidade instantânea da partícula é e a aceleração instantânea é .

Exercícios relacionados

Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de para o qual a solução se aproxima muito do eixo mas não o atravessa.
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
onde é medido em segundos e em metros. Determine a velocidade da partícula em .