a) Determine as expressões da velocidade e da aceleração instantâneas da partícula
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição da partícula dada por
para
. Aqui, vamos trabalhar com cinemática, que é o estudo do movimento. Para encontrar a velocidade e a aceleração instantâneas, vamos usar cálculo, mais especificamente, derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo.
Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Aplicando a regra da potência para cada termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, para encontrar a aceleração instantânea, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, vamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade:
Passo 5
Vamos derivar
:
Aplicando a regra da potência novamente:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então, a aceleração fica:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula é
e a aceleração instantânea é
.