s = t^4 - 4t^3 - 20t^2 + 20t, t ≥ 0
a) Determine as expressões da velocidade e da aceleração instantâneas da partícula

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição da partícula dada por para . Aqui, vamos trabalhar com cinemática, que é o estudo do movimento. Para encontrar a velocidade e a aceleração instantâneas, vamos usar cálculo, mais especificamente, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo.
Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Aplicando a regra da potência para cada termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração instantânea, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, vamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade:

Passo 5

Vamos derivar :
Aplicando a regra da potência novamente:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a aceleração fica:

Resposta

A velocidade instantânea da partícula é e a aceleração instantânea é .

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