a) Determine as expressões da velocidade e da aceleração instantâneas da partícula
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição da partícula dada por
para
. Aqui, vamos trabalhar com cinemática, que é o estudo do movimento. Para encontrar a velocidade e a aceleração instantâneas, vamos usar cálculo, mais especificamente, derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo.
Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Aplicando a regra da potência para cada termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, para encontrar a aceleração instantânea, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, vamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade:
Passo 5
Vamos derivar
:
Aplicando a regra da potência novamente:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então, a aceleração fica:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula é
e a aceleração instantânea é
.
Exercícios relacionados
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para o qual a solução se aproxima muito do eixo
mas não o atravessa.
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
onde
é medido em segundos e
em metros. Determine a velocidade da partícula em
.