63 … VÁrios Passos Um disco horizontal uniforme, de massa M e raio R, gira em torno do eixo vertical que passa pelo seu centro de massa com uma rapidez angular omega. Quando o disco, girando, é largado sobre uma mesa horizontal, forças de atrito cinético sobre o disco se opõem ao seu movimento de rotação. Seja muc o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a mesa. (a) Determine o torque d tau exercido pela força de atrito sobre um elemento circular de raio r e largura dr. (b) Determine o torque total exercido pelo atrito sobre o disco. © Determine o tempo que o disco leva para parar de girar

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um disco horizontal, com massa e raio , girando em torno de um eixo vertical no seu centro com uma velocidade angular . Quando colocamos esse disco girando sobre uma mesa, a força de atrito cinético, que depende do coeficiente , começa a agir contra a rotação, fazendo o disco desacelerar até parar. Hoje, vamos descobrir:
(a) O torque causado pela força de atrito em um anel de raio e largura .
(b) O torque total causado pelo atrito em todo o disco.
© Quanto tempo o disco leva para parar de girar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de torque, momento de inércia, e como a força de atrito atua no disco.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): determinar o torque Ff = muc cdot N exercido pela força de atrito sobre um elemento circular de raio N = dN = sigma cdot dA = Mpi R^2 cdot 2pi r dr = 2M r drR^2 e largura Ff = muc cdot 2M r drR^2 .
Imagine o disco dividido em anéis concêntricos, onde cada anel tem raio dtau = Ff cdot r = muc cdot 2M r drR^2 cdot r = 2muc M r^2 drR^2 e uma pequena largura . A força de atrito que age sobre esse anel é a que está tentando diminuir a rotação. A força de atrito é dada por:
Onde é a força normal, que neste caso é igual ao peso do anel, já que a mesa é horizontal:
Aqui, é a densidade superficial do disco, e é a área do anel.
Então, a força de atrito fica:
O torque é a força de atrito multiplicada pela distância :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): determinar o torque total exercido pelo atrito sobre o disco.
Para encontrar o torque total tautotal = integral0^R dtau = integral0^R 2muc M r^2R^2 dr , precisamos somar (integrar) os torques de todos os anéis do disco, de tautotal = 2muc MR^2 integral0^R r^2 dr = 2muc MR^2 [ r^33 ]0^R = 2muc MR^2 cdot R^33 = 2muc M R3 até :
Resolvendo a integral:

Passo 4

Por último, vamos resolver a parte ©: determinar o tempo que o disco leva para parar de girar.
Sabemos que o torque total tautotal = I cdot alpha causa uma desaceleração angular I = 12 M R^2 no disco. A relação entre torque e aceleração angular é dada por:
2muc M R3 = 12 M R^2 cdot alpha
Onde alpha = 4 muc3 R é o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme girando em torno de seu eixo central:
omega + alpha t = 0 Rightarrow t = -omegaalpha = 3 R omega4 muc
Substituindo :
Simplificando:
A desaceleração angular é negativa, pois está diminuindo a rotação. Agora, para encontrar o tempo que o disco leva para parar, usamos a relação:

Resposta

O tempo que o disco leva para parar de girar é:
t = 3 R omega4 muc

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