63 … VÁrios Passos Um disco horizontal uniforme, de massa
e raio
, gira em torno do eixo vertical que passa pelo seu centro de massa com uma rapidez angular
. Quando o disco, girando, é largado sobre uma mesa horizontal, forças de atrito cinético sobre o disco se opõem ao seu movimento de rotação. Seja
o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a mesa. (a) Determine o torque
exercido pela força de atrito sobre um elemento circular de raio
e largura dr. (b) Determine o torque total exercido pelo atrito sobre o disco. © Determine o tempo que o disco leva para parar de girar
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um disco horizontal, com massa
e raio
, girando em torno de um eixo vertical no seu centro com uma velocidade angular
. Quando colocamos esse disco girando sobre uma mesa, a força de atrito cinético, que depende do coeficiente
, começa a agir contra a rotação, fazendo o disco desacelerar até parar. Hoje, vamos descobrir:
(a) O torque
causado pela força de atrito em um anel de raio
e largura
.
(b) O torque total causado pelo atrito em todo o disco.
© Quanto tempo o disco leva para parar de girar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de torque, momento de inércia, e como a força de atrito atua no disco.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): determinar o torque
exercido pela força de atrito sobre um elemento circular de raio
e largura
.
Imagine o disco dividido em anéis concêntricos, onde cada anel tem raio
e uma pequena largura
. A força de atrito que age sobre esse anel é a que está tentando diminuir a rotação. A força de atrito
é dada por:
Onde
é a força normal, que neste caso é igual ao peso do anel, já que a mesa é horizontal:
Aqui,
é a densidade superficial do disco, e
é a área do anel.
Então, a força de atrito fica:
O torque
é a força de atrito multiplicada pela distância
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): determinar o torque total exercido pelo atrito sobre o disco.
Para encontrar o torque total
, precisamos somar (integrar) os torques de todos os anéis do disco, de
até
:
Resolvendo a integral:
Passo 4
Por último, vamos resolver a parte ©: determinar o tempo que o disco leva para parar de girar.
Sabemos que o torque total
causa uma desaceleração angular
no disco. A relação entre torque e aceleração angular é dada por:
Onde
é o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme girando em torno de seu eixo central:
Substituindo
:
Simplificando:
A desaceleração angular
é negativa, pois está diminuindo a rotação. Agora, para encontrar o tempo
que o disco leva para parar, usamos a relação:
Resposta
O tempo que o disco leva para parar de girar é:
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(a) devido à força
(b) devido à força e
© devido à soma vetorial de e
?
(d) Repita o © para o torque em relação às coordenadas (3.0, 2.0, 4.0)m.
(a) devido à força
(b) devido à força
© devido à soma vetorial de
(d) Repita o © para o torque em relação às coordenadas (3.0, 2.0, 4.0)m.
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.
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