Um objeto de massa
está inicialmente em repouso na origem. No instante
, aplica-se uma nova força
cujos componentes são
onde k1, k2 e k3 são constantes. Determine em função do tempo o vetor posição
e o vetor velocidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto com massa
que está parado na origem. De repente, no instante
, uma força
começa a atuar sobre ele. Essa força tem duas componentes:
Aqui,
,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar as funções posição
e velocidade
do objeto em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Newtoniana, especificamente as leis do movimento de Newton e a integração de aceleração para obter velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a força está relacionada à aceleração através da segunda lei de Newton:
Onde
é a aceleração do objeto. Vamos separar isso nas componentes
e
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos lidar com a componente
primeiro, pois
depende de
. A equação para
é mais simples e pode ser integrada facilmente.
Temos:
Integrando uma vez para obter a velocidade
:
Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial é zero (
), então
:
Passo 4
Agora, integramos
para encontrar a posição
:
Novamente, como o objeto começa na origem (
),
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos retornar à componente
. A aceleração
depende de
:
Passo 6
Integrando
para obter a velocidade
:
Como a velocidade inicial em
também é zero (
), temos
:
Passo 7
Por fim, integramos
para encontrar a posição
:
Como
,
:
Resposta
As funções posição e velocidade em função do tempo são:
e