Um objeto de massa m está inicialmente em repouso na origem. No instante t=0, aplica-se uma nova força F(t) cujos componentes são
Fx(y)=k1+k2 y, Fy(t)=k3 t
onde k1, k2 e k3 são constantes. Determine em função do tempo o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto com massa Fx(t) = k1 + k2 y(t), Fy(t) = k3 t que está parado na origem. De repente, no instante , uma força começa a atuar sobre ele. Essa força tem duas componentes:
Aqui, , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar as funções posição e velocidade do objeto em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Newtoniana, especificamente as leis do movimento de Newton e a integração de aceleração para obter velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força está relacionada à aceleração através da segunda lei de Newton:
F(t) = m cdot a(t)
Onde Fx(t) = m cdot ax(t) e Fy(t) = m cdot ay(t) é a aceleração do objeto. Vamos separar isso nas componentes ax(t) = Fx(t)m = k1 + k2 y(t)m e ay(t) = Fy(t)m = k3 tm :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos lidar com a componente ay(t) = d^2 ydt^2 = k3 tm primeiro, pois vy(t) = integral ay(t) , dt = integral k3 tm , dt = k32m t^2 + C1 depende de vy(t) = k32m t^2 . A equação para é mais simples e pode ser integrada facilmente.
Temos:
Integrando uma vez para obter a velocidade :
Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial é zero ( ), então :

Passo 4

Agora, integramos y(t) = integral vy(t) , dt = integral k32m t^2 , dt = k36m t^3 + C2 para encontrar a posição y(t) = k36m t^3 :
Novamente, como o objeto começa na origem ( ), :

Passo 5

Agora que temos ax(t) = k1 + k2 y(t)m = k1m + k2m cdot k36m t^3 = k1m + k2k36m^2 t^3 , vamos retornar à componente . A aceleração depende de :

Passo 6

Integrando vx(t) = integral ax(t) , dt = integral ( k1m + k2k36m^2 t^3 ) dt = k1m t + k2k324m^2 t^4 + C3 para obter a velocidade vx(t) = k1m t + k2k324m^2 t^4 :
Como a velocidade inicial em também é zero ( ), temos :

Passo 7

Por fim, integramos x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( k1m t + k2k324m^2 t^4 ) dt = k12m t^2 + k2k3120m^2 t^5 + C4 para encontrar a posição x(t) = k12m t^2 + k2k3120m^2 t^5 :
Como , :

Resposta

As funções posição e velocidade em função do tempo são:
r(t) = ( k12m t^2 + k2k3120m^2 t^5, k36m t^3 )
e
v(t) = ( k1m t + k2k324m^2 t^4, k32m t^2 )

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