Um objeto de massa está inicialmente em repouso na origem. No instante , aplica-se uma nova força cujos componentes são
onde k1, k2 e k3 são constantes. Determine em função do tempo o vetor posição e o vetor velocidade .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto com massa que está parado na origem. De repente, no instante , uma força começa a atuar sobre ele. Essa força tem duas componentes:
Aqui, , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar as funções posição e velocidade do objeto em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Newtoniana, especificamente as leis do movimento de Newton e a integração de aceleração para obter velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força está relacionada à aceleração através da segunda lei de Newton:
Onde é a aceleração do objeto. Vamos separar isso nas componentes e :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos lidar com a componente primeiro, pois depende de . A equação para é mais simples e pode ser integrada facilmente.
Temos:
Integrando uma vez para obter a velocidade :
Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial é zero ( ), então :

Passo 4

Agora, integramos para encontrar a posição :
Novamente, como o objeto começa na origem ( ), :

Passo 5

Agora que temos , vamos retornar à componente . A aceleração depende de :

Passo 6

Integrando para obter a velocidade :
Como a velocidade inicial em também é zero ( ), temos :

Passo 7

Por fim, integramos para encontrar a posição :
Como , :

Resposta

As funções posição e velocidade em função do tempo são:
e

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