x(t)=80+120 cos (120 pi t)+60 cos (360 pi t-30^circ)
Analise as afirmações:
I.O sinal é periódico e não possui componente CC.
II. A sua representação através da série de Fourier possui infinitas componentes harmônicas.
III. O seu espectro de frequências é discreto com apenas 3 componentes.
IV. O sinal é uma representação de uma onda periódica através da série trigonométrica de Fourier.
Assinale a alternativa CORRETA:
(a) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
(b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
© Somente a afirmativa I é verdadeira.
(d) Somente a afirmativa IV é verdadeira.
(e) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função e nos pede para analisar quatro afirmações sobre ela. Vamos precisar entender conceitos de sinais periódicos, componentes contínuas (CC) e a série de Fourier para determinar quais afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do sinal . A função é composta por três termos:
  1. : Este é um termo constante, conhecido como componente contínua (CC).
  2. : Este é um termo cosseno com frequência Hz (já que rad/s corresponde a Hz).
  3. : Este é outro termo cosseno com frequência Hz ( rad/s) e um ângulo de fase de .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada afirmação:
Afirmação I: “O sinal é periódico e não possui componente CC.”
  • O sinal é periódico porque é a soma de funções cosseno com frequências diferentes, e seus períodos são múltiplos inteiros uns dos outros.
  • No entanto, o termo é uma componente contínua (CC), ou seja, uma parte que não oscila. Então, a afirmação que diz que não possui componente CC é falsa.
Afirmação II: “A sua representação através da série de Fourier possui infinitas componentes harmônicas.”
  • A série de Fourier de um sinal periódico pode ter infinitas harmonias se o sinal for complexo. Porém, no nosso caso, já está representado como uma soma finita de termos cosseno, sugerindo que não há necessidade de infinitas harmônicas para representá-lo.
  • Portanto, essa afirmação é falsa.
Afirmação III: “O seu espectro de frequências é discreto com apenas 3 componentes.”
  • Analisando , temos três componentes distintas: a CC ( ), Hz e Hz. Portanto, o espectro de frequência é discreto e possui exatamente 3 componentes.
  • Essa afirmação é verdadeira.
Afirmação IV: “O sinal é uma representação de uma onda periódica através da série trigonométrica de Fourier.”
  • A série trigonométrica de Fourier decompõe um sinal periódico em uma soma de senos e cossenos. Nosso sinal est�� precisamente nessa forma.
  • Logo, essa afirmação é verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a (a) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.

Exercícios relacionados