8a)

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo de até . A matéria envolvida é cálculo integral, mais especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar a função seno de um ângulo múltiplo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como integrar funções trigonométricas básicas. Sabemos que a integral de em relação a é , onde é uma constante e é a constante de integração. Aqui, , então vamos usar essa fórmula para resolver a nossa integral.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração, temos:
Agora, como a gente quer uma integral definida de até , vamos calcular os valores nas duas extremidades e subtrair.

Passo 4

Vamos avaliar nos limites de e :
Simplificando:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é .

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(b)
Simplifique:
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