Se 2^a+2^a-1=192 e lim x +infty(1+ax)^a x=L, determine ln (L).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação exponencial e precisamos calcular o limite , que chamamos de . No final, queremos descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e limites, então vamos por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação exponencial 2^a + 2^a2 = 192 . Sabemos que 2^a2 + 2^a = 2^a2 + 2 cdot 2^a2 = 3 cdot 2^a2 = 192 é o mesmo que 2^a = 192 times 23 = 128 , então podemos reescrever a equação assim:
a = 7
Agora, somando os termos semelhantes:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora que encontramos limx to +infty (1 + kx)^x = e^k , vamos calcular o limite lim x +infty(1+7x)^7 x = (lim x +infty(1+7x)^x)^7 = e^7 times 7 = e^49 . Esse tipo de limite é conhecido e a fórmula geral é:
No nosso caso, temos:
Portanto, .

Resposta

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