Determine os valores máximos e mínimos locais de
e os pontos de sela da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, especificamente usando derivadas parciais para localizar e classificar os pontos críticos da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, devemos igualar essas derivadas a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então as equações se reduzem a:
Passo 5
Vamos resolver as equações
e
:
-
quando , onde é um inteiro. -
quando , onde é um inteiro.
Perceba que não existe valor de
que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, não há pontos críticos onde ambas as derivadas parciais são zero ao mesmo tempo.
Passo 6
Como não encontramos pontos onde ambas as derivadas parciais são zero, isso indica que a função não possui máximos ou mínimos locais. No entanto, podemos investigar se há pontos de sela.
Passo 7
Como a função
não possui pontos críticos onde as derivadas parciais se anulam simultaneamente, não há pontos de sela também.
Resposta
A função
não possui valores máximos ou mínimos locais, nem pontos de sela.