Determine os valores máximos e mínimos locais de f e os pontos de sela da função: q(x, y) = e^x sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, especificamente usando derivadas parciais para localizar e classificar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, devemos igualar essas derivadas a zero:
Sabemos que nunca é zero, então as equações se reduzem a:

Passo 5

Vamos resolver as equações e :
  • quando , onde é um inteiro.
  • quando , onde é um inteiro.
Perceba que não existe valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, não há pontos críticos onde ambas as derivadas parciais são zero ao mesmo tempo.

Passo 6

Como não encontramos pontos onde ambas as derivadas parciais são zero, isso indica que a função não possui máximos ou mínimos locais. No entanto, podemos investigar se há pontos de sela.

Passo 7

Como a função não possui pontos críticos onde as derivadas parciais se anulam simultaneamente, não há pontos de sela também.

Resposta

A função não possui valores máximos ou mínimos locais, nem pontos de sela.

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