Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem o maior volume possível, sabendo que a área total da superfície dela é
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, especificamente trabalhando com funções e derivadas para maximizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma caixa retangular tem 3 dimensões: comprimento (
), largura (
) e altura (
). A área total da superfície da caixa é a soma das áreas de todas as faces. Então, a fórmula para a área total (
) é:
Sabemos que
.
Passo 3
Nosso objetivo é maximizar o volume da caixa (
). A fórmula do volume é:
Precisamos relacionar
com a área total para poder usar métodos de otimização.
Passo 4
Como temos uma equação com três variáveis (
,
e
), vamos simplificar assumindo que a caixa seja um cubo. Isso significa que
. Essa suposição geralmente simplifica bastante os cálculos e muitas vezes nos leva à solução ideal.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da área total:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos calcular o volume:
Resposta
As dimensões da caixa retangular de maior volume, com área total de superfície igual a
, são
de comprimento,
de largura e
de altura.