Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por 54 cm^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem o maior volume possível, sabendo que a área total da superfície dela é . Para isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, especificamente trabalhando com funções e derivadas para maximizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma caixa retangular tem 3 dimensões: comprimento ( ), largura ( ) e altura ( ). A área total da superfície da caixa é a soma das áreas de todas as faces. Então, a fórmula para a área total ( ) é:
Sabemos que .

Passo 3

Nosso objetivo é maximizar o volume da caixa ( ). A fórmula do volume é:
Precisamos relacionar com a área total para poder usar métodos de otimização.

Passo 4

Como temos uma equação com três variáveis ( , e ), vamos simplificar assumindo que a caixa seja um cubo. Isso significa que . Essa suposição geralmente simplifica bastante os cálculos e muitas vezes nos leva à solução ideal.

Passo 5

Substituindo na fórmula da área total:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos calcular o volume:

Resposta

As dimensões da caixa retangular de maior volume, com área total de superfície igual a , são de comprimento, de largura e de altura.

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