Abaixo há três representações para o mesmo polinômio:
p(x) = x^3 - 3 x^2 + 3 x - 1, q(x) = [(x - 3) x + 3] x - 1, r(x) = (x - 1)^3
Considere um sistema de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa e arredondamento.
© Para cada valor de x nos itens (a) e (b), qual representação do polinômio em questão produziu o menor erro relativo em relação aos valores obtidos utilizando todos os dígitos de sua calculadora/computador?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três jeitos de escrever o mesmo polinômio:
A parada aqui envolve sistemas de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa e arredondamento. A gente precisa descobrir, para cada valor de dos itens (a) e (b), qual dessas representações do polinômio gera o menor erro relativo quando comparado aos valores exatos que teríamos usando todos os dígitos da calculadora ou computador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é mantissa em ponto flutuante. Em sistemas de ponto flutuante, um número é representado por:
ú
A mantissa é a parte significativa do número, e aqui temos 4 dígitos na mantissa. Isso significa que, ao calcular, só vamos considerar até quatro dígitos significativos e arredondar o resto.

Passo 3

Agora, precisamos calcular cada uma das representações , e para os valores de fornecidos nos itens (a) e (b). Como não temos esses valores aqui, vou supor alguns exemplos para ilustrar como proceder. Vamos supor que e .

Passo 4

Vamos começar calculando para :
Como estamos usando apenas 4 dígitos na mantissa, o valor exato é 1.000, que já cabe nos 4 dígitos, então não há arredondamento necessário aqui.

Passo 5

Agora, vamos para com :
Novamente, o resultado é 1.000, sem necessidade de arredondamento.

Passo 6

Agora, para :
Mais uma vez, o resultado é 1.000 sem arredondamento.

Passo 7

Vamos verificar o erro relativo para cada representação com :
Erro Relativo ( ) é dado por:
Para todas as três representações, o valor aproximado é igual ao exato (1.000), então o erro relativo é 0 para todas. Ou seja, todas as representações são perfeitas para .

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para .
Calculando :
Com 4 dígitos na mantissa, temos 0,1250, sem necessidade de arredondamento.

Passo 9

Calculando :
Mais uma vez, o resultado é 0,1250 sem arredondamento.

Passo 10

Calculando :
Resultado é 0,1250 sem arredondamento.

Passo 11

Verificando o erro relativo para :
Todas as representações dão 0,1250, que é o valor exato. Portanto, o erro relativo é 0 para todas.

Passo 12

Resumindo, para os valores de e , todas as representações , e produziram resultados exatos sem erro relativo. Portanto, nenhuma delas teve vantagem sobre as outras nesse caso específico.

Resposta

Para os valores de e , todas as representações do polinômio , e produziram o menor erro relativo, igual a zero, comparado aos valores exatos.

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