Prove, por contradição, que inteiros consecutivos não podem ser ambos pares.

Passo 1

Vamos resolver este exercício que pede para provar, usando o método da contradição, que dois números inteiros consecutivos não podem ser ambos pares. Para isso, vamos precisar entender o que significa números pares e como funciona uma prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número par. Um número inteiro é par se pode ser escrito como , onde é outro inteiro. Por exemplo, 4 é par porque pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, vamos supor o contrário do que queremos provar, ou seja, que existem dois números inteiros consecutivos que são ambos pares. Vamos chamar esses números de e , onde é um inteiro par.

Passo 4

Segundo nossa suposição, é par, então podemos escrever para algum inteiro . Como também seria par, podemos escrever para algum inteiro .

Passo 5

Substituindo na segunda equação, temos:
Isso simplifica para:

Passo 6

A última equação diz que 1 é igual a duas vezes algum inteiro ( ). Porém, sabemos que sempre resultará em um número par, já que é o dobro de um inteiro. Por outro lado, 1 é um número ímpar.

Passo 7

Chegamos a uma contradição: 1 não pode ser igual a um número par. Isso significa que nossa suposição inicial está errada.

Resposta

Portanto, por contradição, mostramos que dois números inteiros consecutivos não podem ser ambos pares.

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