A aceleração angular de uma roda é alpha=6,0 t^4-4,0 t^2, com alpha em radianos por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante t=O, a roda tem uma velocidade angular de +2,0 rad / s e uma posição angular de +1,0 rad. Escreva expressões (b) para a posição angular (em rad) em função do tempo (em s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática rotacional! A gente tem a aceleração angular da roda dada por rad/s². Queremos achar a posição angular em função do tempo. Para isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos usar um pouco de cálculo e as condições iniciais que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, para achar a velocidade, a gente integra a aceleração:
omega(t) = integral alpha(t) , dt = integral (6,0, t^4 - 4,0, t^2) , dt

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
omega(t) = 6,0 integral t^4 , dt - 4,0 integral t^2 , dt = 6,0 cdot t^55 - 4,0 cdot t^33 + C
Simplificando:
omega(t) = 6,05 t^5 - 4,03 t^3 + C

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante 2,0 = 6,05 cdot 0^5 - 4,03 cdot 0^3 + C Rightarrow C = 2,0 . Sabemos que quando omega(t) = 6,05 t^5 - 4,03 t^3 + 2,0 , rad/s:
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição angular theta(t) = integral omega(t) , dt = integral ( 6,05 t^5 - 4,03 t^3 + 2,0 ) , dt :

Passo 6

Calculando essa integral:
theta(t) = 6,05 cdot t^66 - 4,03 cdot t^44 + 2,0, t + D
Simplificando:
theta(t) = t^65 - t^43 + 2,0, t + D

Passo 7

Usamos a condição inicial para achar 1,0 = 0^65 - 0^43 + 2,0 cdot 0 + D Rightarrow D = 1,0 . Sabemos que quando , rad:

Resposta

A posição angular em função do tempo é:
theta(t) = t^65 - t^43 + 2,0, t + 1,0 (rad)

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