A aceleração angular de uma roda é , com em radianos por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante , a roda tem uma velocidade angular de e uma posição angular de . Escreva expressões (b) para a posição angular (em rad) em função do tempo (em s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática rotacional! A gente tem a aceleração angular da roda dada por rad/s². Queremos achar a posição angular em função do tempo. Para isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos usar um pouco de cálculo e as condições iniciais que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, para achar a velocidade, a gente integra a aceleração:

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
Simplificando:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , rad/s:
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição angular :

Passo 6

Calculando essa integral:
Simplificando:

Passo 7

Usamos a condição inicial para achar . Sabemos que quando , rad:

Resposta

A posição angular em função do tempo é:

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