A aceleração angular de uma roda é
, com
em radianos por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante
, a roda tem uma velocidade angular de
e uma posição angular de
. Escreva expressões (b) para a posição angular (em rad) em função do tempo (em s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática rotacional! A gente tem a aceleração angular da roda dada por
rad/s². Queremos achar a posição angular
em função do tempo. Para isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos usar um pouco de cálculo e as condições iniciais que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, para achar a velocidade, a gente integra a aceleração:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Simplificando:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
rad/s:
Então, a expressão da velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição angular
:
Passo 6
Calculando essa integral:
Simplificando:
Passo 7
Usamos a condição inicial para achar
. Sabemos que quando
,
rad:
Resposta
A posição angular em função do tempo é: