Neste caso, qual a solução da equação homogênea associada? Em que ela difere da solução de um oscilador livre?

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação homogênea associada a um sistema, e queremos encontrar a solução dessa equação. Além disso, precisamos comparar essa solução com a de um oscilador livre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e mecânica dos osciladores.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma equação homogênea. Em termos simples, uma equação homogênea é uma equação diferencial onde todos os termos dependem da função desconhecida e suas derivadas, sem termos livres (ou forçados). Geralmente, ela tem a forma:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = 0
Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, e é a constante elástica.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. Substituímos m r^2 + b r + k = 0 por , por e por 1, ficando:

Passo 4

Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4mk2m
O discriminante vai determinar o tipo de solução que teremos.

Passo 5

Dependendo do valor de , temos três casos:
  1. : Duas raízes reais e distintas.
  2. : Duas raízes reais e iguais.
  3. : Duas raízes complexas conjugadas.
Cada caso leva a um tipo diferente de solução para a equação homogênea.

Passo 6

Vamos focar no caso onde r = alpha pm iomega , que é comum em sistemas oscilatórios com amortecimento. As raízes são complexas:
Onde:
  • representa o termo de amortecimento.
  • é a frequência angular do sistema.

Passo 7

A solução geral da equação homogênea nesse caso é:
x(t) = e^alpha t ( A cos(omega t) + B sin(omega t) )
Aqui, e são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Passo 8

Agora, vamos comparar isso com a solução de um oscilador livre. Um oscilador livre geralmente não tem amortecimento, ou seja, x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t) . Nesse caso, a solução se simplifica para:
Onde é a frequência natural do oscilador livre.

Passo 9

A principal diferença entre as duas soluções é o termo na solução da equação homogênea associada. Esse termo representa o amortecimento do sistema, fazendo com que as oscilações diminuam com o tempo. No oscilador livre, sem amortecimento, as oscilações continuam indefinidamente com amplitude constante.

Resposta

A solução da equação homogênea associada é . Essa solução difere da do oscilador livre por incluir o termo de amortecimento , que faz as oscilações diminuírem com o tempo, enquanto no oscilador livre as oscilações mantêm amplitude constante.

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