Neste caso, qual a solução da equação homogênea associada? Em que ela difere da solução de um oscilador livre?
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação homogênea associada a um sistema, e queremos encontrar a solução dessa equação. Além disso, precisamos comparar essa solução com a de um oscilador livre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e mecânica dos osciladores.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma equação homogênea. Em termos simples, uma equação homogênea é uma equação diferencial onde todos os termos dependem da função desconhecida e suas derivadas, sem termos livres (ou forçados). Geralmente, ela tem a forma:
Aqui,
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento, e
é a constante elástica.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. Substituímos
por
,
por
e
por 1, ficando:
Passo 4
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
O discriminante
vai determinar o tipo de solução que teremos.
Passo 5
Dependendo do valor de
, temos três casos:
-
: Duas raízes reais e distintas. -
: Duas raízes reais e iguais. -
: Duas raízes complexas conjugadas.
Cada caso leva a um tipo diferente de solução para a equação homogênea.
Passo 6
Vamos focar no caso onde
, que é comum em sistemas oscilatórios com amortecimento. As raízes são complexas:
Onde:
-
representa o termo de amortecimento. -
é a frequência angular do sistema.
Passo 7
A solução geral da equação homogênea nesse caso é:
Aqui,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.
Passo 8
Agora, vamos comparar isso com a solução de um oscilador livre. Um oscilador livre geralmente não tem amortecimento, ou seja,
. Nesse caso, a solução se simplifica para:
Onde
é a frequência natural do oscilador livre.
Passo 9
A principal diferença entre as duas soluções é o termo
na solução da equação homogênea associada. Esse termo representa o amortecimento do sistema, fazendo com que as oscilações diminuam com o tempo. No oscilador livre, sem amortecimento, as oscilações continuam indefinidamente com amplitude constante.
Resposta
A solução da equação homogênea associada é
. Essa solução difere da do oscilador livre por incluir o termo de amortecimento
, que faz as oscilações diminuírem com o tempo, enquanto no oscilador livre as oscilações mantêm amplitude constante.